Slovní úlohy

Směsi

1.a 

Vlak veze na 29 vagonech 525 tun uhlí. Některé vagony jsou dvacetitunové, jiné patnáctitunové. Kolik je kterých?  

$20x + 15(29 - x) = 525$  

$5x + 435 = 525$  

$5x = 90$  

$x = 18$  

18 dvacetitunových a 11 patnáctitunových vagonů.

1.b

Po zahradě běhají slepice a králíci. Dohromady je jich 22 a mají 62 nohou. Kolik je kterých?
$2x + 4(22 - x) = 62$  
$2x + 88 - 4x = 62$  
$-2x + 88 = 62$  
$-2x = -26$  
$x = 13$  
13 slepic a 9 králíků.

1.c

Chlapec střádal pětikorunové a dvoukorunové mince. Když jich měl 50, zjistil, že uspořil 190 Kč. Kolik nastřádal pětikorunových mincí?

$5x + 2(50 - x) = 190$
$5x + 100 - 2x = 190$
$3x + 100 = 190$
$3x = 90$
$x = 30$

30 pětikorunových a 20 dvoukorunových mincí.

1.d

Součet tří po sobě jdoucích lichých čísel je 75. Určete tato čísla.

$x + (x + 2) + (x + 4) = 75$
$3x + 6 = 75$
$3x = 69$
$x = 23$

23, 25 a 27.

1.e

Sečteme-li podíl, součin, rozdíl a součet neznámého čísla a čísla 2, dostaneme číslo 81. Jaké je hledané číslo?

$\frac{x}{2} + 2x + (x - 2) + (x + 2) = 81$
$\frac{x}{2} + 4x = 81$
$\frac{9x}{2} = 81$
$9x = 162$
$x = 18$

Hledané číslo je 18.

1.f

Součet čtyř po sobě jdoucích přirozených čísel je 42. Urči jejich nejmenší společný násobek.

$x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 42$
$4x + 6 = 42$
$4x = 36$
$x = 9$

Čísla jsou 9, 10, 11 a 12. Nejmenší společný násobek je 990.

Roztoky

2.a

Jakou teplotu bude mít voda, která vznikne, jestliže do 7 litrů vody teplé 45 stupňů Celsia přidáme 6 litrů 80 stupňů teplé vody?

$\frac{7 \times 45 + 6 \times 80}{7 + 6} = \frac{315 + 480}{13}$
$\frac{795}{13} \approx 61,15$

Výsledná teplota bude přibližně 61,15 °C.

2.b

Jaký roztok vznikne smícháním 2 litrů 25% roztoku s 5 dl 80% roztoku?

$2 \times 0,25 + 0,5 \times 0,8 = 0,5 + 0,4$
$0,9 , \text{látky}$
$\frac{0,9}{2,5} \approx 0,36$

Výsledný roztok bude mít přibližně 36% koncentraci.

2.c

Jakou bude mít teplotu voda, přilejeme-li do 14 litrů vody o teplotě 80 °C 2 litry vody o 60 °C?

$\frac{14 \times 80 + 2 \times 60}{14 + 2} = \frac{1120 + 120}{16}$
$\frac{1240}{16} = 77,5$

Výsledná teplota bude 77,5 °C.

Pohyb

3.a

Z místa A do B, vzdáleného 240 km, vyjelo v 8:00 hodin nákladní auto rychlostí 60 km/h. Z místa B vyjelo v 8:30 hodin osobní auto rychlostí 80 km/h do místa A. V kolik hodin a jak daleko od A se setkají?

$60t + 80(t - 0,5) = 240$
$60t + 80t - 40 = 240$
$140t = 280$
$t = 2$

Setkají se v 10:00, 120 km od místa A.

3.b

Vzdálenost z místa A do B je 108 km. Z obou míst vyjela současně proti sobě dvě auta. Rychlost auta jedoucí z místa A byla o 2 km/h větší než rychlost druhého auta. Jaká byla rychlost každého z aut, jestliže se potkala za 54 minut?

$(x + x + 2) \times \frac{54}{60} = 108$
$(2x + 2) \times \frac{54}{60} = 108$
$\frac{54}{30}x + \frac{54}{30} = 108$
$108x + 108 = 3240$
$x = 14$

Rychlosti aut jsou 14 km/h a 16 km/h.

3.c

Děti se vypravily na kolech na chatu vzdálenou 30 km. Vyrazily v 7 hodin a jely rychlostí 16 km/h. O půl hodiny později vyjel za nimi tatínek rychlostí 24 km/h. V kolik hodin a jak daleko od chaty je tatínek dohonil?

$16t = 24(t - 0,5)$
$16t = 24t - 12$
$8t = 12$
$t = 1,5$

Tatínek dohonil děti v 8:30, 6 km od chaty.

Společná práce

4.a

Dětský bazén se naplní jedním přítokem za 5 hodin, druhým přítokem za 7 hodin. Za kolik hodin se naplní oběma přítoky současně? Výsledek vyjádřete v hodinách a minutách.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{7 + 5}{35} = \frac{12}{35}$
$t = \frac{35}{12} \approx 2,92$

Bazén se naplní za 2 hodiny a 55 minut.

4.b

Dělník A by splnil daný úkol za 12 hodin, dělník B za 10 hodin. Protože práce měla být splněna za 4 hodiny, přibrali ještě dělníka C. Za kolik hodin by splnil daný úkol dělník C sám?

$\frac{1}{12} + \frac{1}{10} + \frac{1}{x} = \frac{1}{4}$
$\frac{5 + 6 + 60}{60x} = \frac{15}{60}$
$60x = 30$
$x = 8$

Dělník C by úkol splnil za 8 hodin.

4.c

Dělník Adam může splnit úkol za 40 hodin, dělník Bláha za 30 hodin. Na daném úkolu začali pracovat společně. Po jisté době byl dělník Bláha odvolán a dělník Adam dokončil práci sám za dalších 5 hodin. Kolik hodin pracovali společně a jaký díl práce každý z nich vykonal?

$\frac{x + 5}{40} + \frac{x}{30} = 1$
$\frac{3(x + 5) + 4x}{120} = 1$
$\frac{3x + 15 + 4x}{120} = 1$
$\frac{7x + 15}{120} = 1$
$7x + 15 = 120$
$7x = 105$
$x = 15$

Pracovali společně 15 hodin.