Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek využíváme při hledání společného jmenovatele a při řešení slovních úloh, kde se například řeší stavba čtverce či obdélníku (krychle či kvádru) z různě velkých bloků; anebo úlohy kde, se hledá, kdy se znovu setkají vozidla, jež vyrážela ve stejný okamžik, a každému z nich objetí celé trasy zabere jinou dobu a podobně.


Příklad výpočtu nejmenšího společného násobku


1. Určete nejmenší společný násobek čísel 60 a 45.

$\large n(60, 45)$
$\Huge 60$





$\Huge 45$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 30$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 15$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 15$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 5$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$







$\huge 3$
$\times$
$\huge 5$






Vypíšeme prvočísla z rozkladů. Prvočísla jsou ta čísla, která již nemají žádného dalšího dělitele (jsou na konci "ocásků" a za nimi už není další šipka).


$\large 60=2 \times 2 \times 3 \times 5$
$\large 45=3 \times 3 \times 5$


Určíme nejmenší násobek tak, že postupně vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z obou rozkladů.

V rozkladech jsou dvojky, trojky a pětky. Číslo 2 je nejvíce 2x, číslo 3 je také 2x a číslo 5 1x.


$\large n(60, 45)=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 5= 180$


2. Určete nejmenší společný násobek čísel 54 a 90.

$\large n(54, 90)$
$\Huge 54$





$\Huge 90$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 27$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 45$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$

$\huge 3$
$\times$
$\huge 9$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 15$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\huge 3$
$\times$
$\huge 3$


$\huge 3$
$\times$
$\huge 5$


Vypíšeme prvočísla z rozkladů. Prvočísla jsou ta čísla, která již nemají žádného dalšího dělitele.


$\large 54=2 \times 3 \times 3 \times 3$
$\large 90=2 \times 3 \times 3 \times 5$


Určíme nejmenší násobek tak, že postupně vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z obou rozkladů.

V rozkladech jsou dvojky, trojky a pětky. Číslo 2 je nejvíce 1x, číslo 3 je 3x a číslo 5 1x.


$\large n(54, 90)=2\times 3 \times 3 \times 3 \times 5= 270$



Příklady na určení nejmenšího společného násobku s řešením


$\large n(42, 56)$
$\Huge 42$





$\Huge 56$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 21$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 28$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$

$\huge 3$
$\times$
$\huge 7$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 14$








$\large \swarrow$
$\large\searrow$








$\huge 2$
$\times$
$\huge 7$


$\large 42=2 \times 3 \times 7$

$\large 56=2 \times 2 \times 2 \times 7$


$\large n(42, 56)=2\times 2 \times 2 \times 3 \times 7= 168$

$\large n(84, 126)$
$\Huge 84$





$\Huge 126$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 42$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 63$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 21$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 21$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\huge 3$
$\times$
$\huge 7$


$\huge 3$
$\times$
$\huge 7$



$\large 84=2 \times 2 \times 3 \times 7$

$\large 126=2 \times 3 \times 3 \times 7$


$\large n(84, 126)=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 7= 252$

$\large n(30, 45)$
$\Huge 30$





$\Huge 45$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$

$\huge 2$
$\times$
$\huge 15$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 15$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$

$\huge 3$
$\times$
$\huge 5$



$\huge 3$
$\times$
$\huge 5$


$\large 30=2 \times 3 \times 5$

$\large 45=3 \times 3 \times 5$


$\large n(30, 45)=2\times 3 \times 3 \times 5= 90$

$\large n(48, 80)$
$\Huge 48$





$\Huge 80$



$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\huge 2$
$\times$
$\huge 24$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 40$



$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$

$\large\searrow$


$\huge 2$
$\times$
$\huge 12$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 20$



$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\huge 2$
$\times$
$\huge 6$


$\huge 2$
$\times$
$\huge 10$



$\large \swarrow$
$\large\searrow$


$\large\swarrow$
$\large\searrow$



$\huge 2$
$\times$
$\huge 3$


$\huge 2$
$\times$
$\huge 5$


$\large 48=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$

$\large 80=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5$


$\large n(48, 80)=2\times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5= 240$


Další příklady na procvičení