Lomený výraz je zlomek, který má ve jmenovali mnohočlen s proměnnou. Naším úkolem je lomený výraz zjednodušit. Při zjednodušování využíváme vytýkání, krácení a vzorců. Musíme také udat podmínky řešitelnosti, protože ve jmenovali zlomku nemůže být nula (nulou nemůžeme dělit).
Postup při při řešení lomených výrazů:
1. Určíme podmínky řešitelnosti;
2. snažíme se upravit čitatele a jmenovatele zlomku pomocí vytýkání nebo užitím vzorců, abychom mohli krátit;
3. jestliže získáme součinový tvar, můžeme krátit;
4. pokračujeme do okamžiku, kdy již nelze krátit. Tím jsme získali výsledek.
Určení podmínek řešitelnosti
Při řešení lomených výrazů musíme vždy určit podmínky řešitelnosti. Pokud bychom proměnnou neomezili, výraz s nulou ve jmenovali by nedával smysl. Při stanovení podmínek tedy nezáleží na čitateli zlomku. Záleží pouze na jmenovateli zlomku a musíme spočítat, jaké hodnotě se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli, aby jmenoval nebyl roven nule. Když by byla hodnota čitatele nula, pak by celý výraz byl roven nule a to je samozřejmě možné. Nulu dělit můžeme, ale dělit nulou není možné.
Poznámka: Určení podmínek řešitelnosti je nezbytnou dovedností. Je součástí řešení nejenom úpravy lomených výrazů, ale i řešení rovnic a funkcí. Určení podmínek řešitelnosti není náročné a je možné, že timto získáte rozhodující body pro lepší výsledek u přijímacích zkoušek nebo u maturity. Proto radím - nepodceňovat...
Určete, pro které hodnoty proměnné $x$ mají dané výrazy smysl:
$\huge\frac{4}{5x}$
$5x \neq 0$
$x \neq 0$
$\huge\frac{4}{6ab}$
$6ab \neq 0$
$a \neq 0$
$b \neq 0$
$\huge\frac{5x - 7}{5x - 6}$
$5x - 6 \neq 0$
$5x \neq 6$
$x \neq \frac{6}{5}$
$\huge\frac{x -3}{8x \left (x+7 \right )}$
$8x \left (x+7 \right ) \neq 0$
$8x \neq 0$
$x \neq 0$
$x+7 \neq 0$
$x \neq -7$
$\huge\frac{x -8}{25x^{2} - 1}$
$25x^{2} - 1 \neq 0$
$25x^{2} - 1 \neq 0$
$ \left (5x-1 \right ) \left (5x + 1 \right) \neq 0$
$5x-1 \neq 0$
$5x \neq 1$
$x \neq \frac {1}{5}$
$5x+1 \neq 0$
$5x \neq -1$
$x \neq -\frac {1}{5}$
$\huge\frac{2x -8}{ \left (x+1 \right ) \left (3x - 4 \right)}$
$ \left (x+1 \right ) \left (3x - 4 \right) \neq 0$
$x+1 \neq 0$
$x \neq -1$
$3x-4 \neq 0$
$3x \neq 4$
$x \neq \frac {4}{3}$
$\huge\frac{x -9}{7x-21x^{2}}$
$7x-21x^{2} \neq 0$
$7x \left (1 - 3x \right) \neq 0$
$7x \neq 0$
$x \neq 0$
$1-3x \neq 0$
$-3x \neq -1 \: / \div -3$
$x \neq \frac {1}{3}$
$\huge\frac{6x \left (5-4x \right )}{x^{2}-10x+25}$
$x^{2}-10x+25 \neq 0$
$ \left (x-5 \right )x^{2} \neq 0$
$x-5 \neq 0$
$x \neq 5$
$\huge\frac{x-y}{3x-5y}$
$3x-5y \neq 0$
$3x \neq 5y $
$x \neq \frac {5y}{3}$
Krácení a rozšiřování lomených výrazů
Lomené výrazy můžeme krátit nebo rozšiřovat stejně jako zlomky, které neobsahují proměnnou. Čitatele i jmenovatele můžeme násobit i dělit stejným číslem nebo proměnnou. Při krácení postupujeme tak, že zjišťujeme, čím můžeme podělit čitatele i jmenovatele. Při krácení využíváme často vytýkání a vzorce.
Při rozšiřování máme v zadání uvedeno, čím máme lomený výraz rozšířit. Při rozšiřování násobíme čitatele i jmenovatele výrazu stejným číslem nebo jiným výrazem.
Poznámka: Někdy se stává, že se studenti domnívají, že při krácení se jedná o násobení, protože slyší ve slově krácení "krát". Je to právě naopak - při krácení se čitatel i jmenoval dělí společným největším dělitelem.
Kraťte dané výrazy a uveďte, kdy mají smysl:
$\huge\frac{27x^2}{3x}$
$\huge\frac{27x^2}{3x} = 9x$
$x \neq 0 $
$\huge\frac{7m-21n}{2m-6n}$
$\huge\frac{7m-21n}{2m-6n} = \frac{7 \left(m-3n \right)}{2 \left(m-3n \right)} = \frac{7}{2}$
$2m - 6n \neq 0 $
$2 \left (m-3n \right) \neq 0 $
$m - 3n \neq 0 $
$m \neq 3n $
$\huge\frac{-24x^2y^3}{8xy . \left(-6y^2 \right)}$
$\huge\frac{-24x^2y^3}{8xy . \left(-6y^2 \right)} = \frac{-24x^2y^3}{-48xy^3} = \frac{x}{2}$
$x \neq 0 $
$y \neq 0 $
$\huge\frac{x^2-64}{x^2-8x}$
$\huge\frac{x^2-64}{x^2-8x} = \frac{ \left (x-8 \right ) \left (x+8 \right )}{x\left (x-8 \right)}= \frac{x+8}{x}$
$x \neq 0 $
$x \neq -8 $
Výrazy rozšiřte výrazem v závorce a určete podmínky, za kterých mají smysl:
$\huge\frac{1}{2p} \; \; \left(p \right)$
$\huge\frac{p}{2p^2} $
$p \neq 0 $
$\huge\frac{3}{-5p} \; \; \left(-p \right)$
$\huge\frac{-3p}{5p^2} $
$p \neq 0 $
$\huge\frac{-7p}{5p-4} \; \left(-3p \right)$
$\huge\frac{21p^2}{-15p^2+12p} $
$3p(5p-4) \neq 0 $
$5p \neq 4 $
$p \neq \frac{4}{5} $
$p \neq 0 $
$\huge\frac{p + q}{p - q} \; \; \left(p+q \right)$
$\huge\frac{\left(p+q \right)^2}{p^2-q^2} $
$p \neq \pm q$
Procvičte si: