Postup řešení slovních úloh na směsi
- Přečteme 2x zadání od začátku do úplného konce.
- V úlohách na směsi řešíme většinou dva vstupy, ke kterým se vztahuje nějaký údaj. Jedná se například o dvažší a levnější čokoládu nebo něco obdobného, dva druhy ovoce nebo zeleniny, dva druhy pokojů s různým počtem lůžek.
- Údaje ze zadání pečlivě zapíšeme do tabulky.
- Sestavíme rovnici a řešíme.
- Po vyřešení provedeme zkoušku dosazením do tabulky.
- Na letním táboře je 41 chatek. Bydlí se v nich po třech nebo po čtyřech. Kolik ze 140 táborníků bydlí po třech?
|
|
počet chatek | počet lůžek v 1 chatě | počet ubytovaných |
|---|---|---|---|
| 1. druh pokoje - třílůžkový | x | 3 | 3x |
| 2. druh pokoje - čtyřlůžkový | 41 - x | 4 | 4(41 - x) |
| celkem | 41 |
|
140 |
Poznámka: Celkem máme 41 chatek. Takže když zvolíme x za počet třílůžkových chatek, tak čtyřlůžkových bude 41 - x. V každé chatce je buď tři nebo čtyři lůžka. Když vynásobíme počet chatek počtem lůžek, tak získáme celkový počet lůžek v obou druzích chatek. Rovnici sestavíe tak, že sečteme celkový počet ubytovaných v třílůžkových i čtyřlůžkových chatkách, celkový počet se bude rovnat počtu ubytovaných. V našem případě vypočítáme počet třílůžkových chatek, které jsme zvolili jako x. Počet čtyřlůžkových získáme tak, že odečteme tento počet od celkového počtu chatek. Zkoušku provedeme tak, že dosadíme výsledek za x a musíme dostat celkový počet ubytovaných 140.
$3x + 4\times(41 - x) = 140$
$3x + 164 - 4x = 140$
$x = 24$
Počet třílůžkových chatek je 24 a čtyřlůžkových je 17. Ve třílůžkových chatkách bydlí 72 táborníků.
2. Zahradnictví zakoupilo 80 květináčů v celkové hodnotě 2 832 Kč. Menší květináče byly po 32 Kč, větší po 40 Kč za kus. Kolik bylo kterých?
|
|
počet květináčů | cena za 1 ks | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh květináče - menší | x | 32 | 32x |
| 2. druh květináče - větší | 80 - x | 40 | 40(80 - x) |
| celkem | 80 |
|
2832 |
$32x + 40\times(80 - x) = 2832$
$32x + 3200 - 40x = 2832$
$8x = 368$
$x = 46$
Menších květináčů bylo 46, větších 34.
3. Do obchodu přivezli 50 balení másla dvojího druhu v celkové ceně 844 Kč. Levnější druh byl po 16 Kč, dražší po 18 Kč za kus. Kolik bylo kterých?
|
|
máslo - ks | cena za 1 ks | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh másla - levnější | x | 16 | 16x |
| 2. druh másla - dražší | 50 - x | 18 | 18(50 - x) |
| celkem | 50 |
|
844 |
$16x + 18\times(50 - x) = 844$
$16x + 900 - 18x = 844$
$2x = 56$
$x = 28$
Levnějšího másla bylo 28 kusů, dražšího 22 kusů.
4. Závod objednal 50 kg materiálu za 720 Kč. Cena levnějšího materiálu je 12 Kč za 1 kg a dražšího 16 Kč za 1 kg. Kolik kg každého bylo objednáno?
|
|
materiál - kg | cena za 1 kg | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh materiálu - levnější | $x$ | $12$ | $12x$ |
| 2. druh materiálu - dražší | $50 - x$ | $16$ | $16(50 - x)$ |
| celkem | $50$ |
|
$720$ |
$12x + 16\times(50 - x) = 720$
$12x + 800 - 16x = 720$
$4x = 80$
$x = 20$
Levnějšího materiálu bylo 20 kg, dražšího 30 kg.
5. Ve stánku se prodává 1 kg banánů za 24 Kč a 1 kg pomerančů za 17 Kč. Kolik kg banánů a kolik kg pomerančů prodavač prodal, jestliže prodal celkem 130 kg obou druhů ovoce a utržil 2 770Kč?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - banány | $x$ | $24$ | $24\times x$
|
| 2. druh - pomeranče | $130 - x$ | $17$ | $17\times (130 - x)$
|
| celkem | $130$ |
|
$2770$ |
$24\times x + 17\times (130 - x)= 2770$
$24\times x + 2210 - 17\times x = 2770$
$7\times x = 560$
$x = 80$
Banánů bylo 80 kg a pomerančů 50 kg.
6. V bufetu prodali 170 nápojů v hodnotě 1 120 Kč. Pomerančový byl po 8 Kč, jablkový po 6 Kč. Kolik nápojů každého druhu prodali?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - pomerančový nápoj | $x$ | $8$ | $8\times x$
|
| 2. druh - jablkový nápoj | $170 - x$ | $6$ | $6\times (170 - x)$
|
| celkem | $170$ |
|
$1120$ |
$8\times x + 6\times (170 - x) = 1120$
$8\times x + 1020 - 6\times x = 1120$
$2\times x = 100$
$x = 50$
Pomerančového nápoje se prodalo 50 kusů, jablkového 120 kusů
.
7.V balírnách připravují směs kávy v ceně 220 Kč za 1 kg. Na skladě mají dva druhy kávy, 1 kg prvního druhu stojí 180 Kč a 1 kg druhého druhu stojí 280 Kč. Kolik kilogramů každého druhu je potřeba k přípravě 75 kg požadované směsi?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - levnější káva | $x$ | $180$ | $180\times x$
|
| 2. druh - dražší káva | $75 - x$ | $280$ | $280\times (75 - x)$
|
| celkem | $75$ |
|
$75\times 220 Kč$ |
$180\times x + 280\times (75 - x) = 75\times 220$
$180\times x + 21000 - 280\times x = 16500$
$100\times x = 4500$
$x = 45$
Na směs je třeba 45 kg levnější kávy a 30 kg dražší kávy.
8. 8 kabelek stálo 3 060 Kč. Kabelka z kůže stojí 620 Kč, kabelka z imitace 240 Kč. Kolik kterých kabelek bylo koupeno?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - kůže | $x$ | $620$ | $620\times x$
|
| 2. druh - imitace | $8 - x$ | $240$ | $240\times (8 - x)$
|
| celkem | $8$ |
|
$3060$ |
$620\times x + 240\times (8 - x) = 3060$
$620\times x + 1920 - 240\times x = 3060$
$380\times x = 1140$
$x = 3$
Byly koupeny 3 kožené kabelky a pět kabelek z imitace kůže.
9. Kolik kg semene vojtěšky po 160 Kč a bojínku po 40 Kč musíme smíchat, abychom dostali 10 kg travní směsi po 100 Kč?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - vojtěška | $x$ | $160$ | $160\times x$
|
| 2. druh - bojínek | $10 - x$ | $40$ | $40\times (10 - x)$
|
| celkem | $10$ |
|
$1000$ |
$160\times x + 40\times (10 - x) = 1000$
$160\times x + 400 - 40\times x = 1000$
$120\times x = 600$
$x = 5$
Musíme smíchat 5 kg vojtěšky a 5 kg bojínku.
10. Jitka měla v pokladničce celkem 62 mincí. Mince byly pětikorunové nebo dvoukorunové. Kolik bylo v pokladničce pětikorun a kolik dvoukorun, jestliže celkový obnos byl 226 Kč?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - dvoukorunové | $x$ | $2$ | $2\times x$
|
| 2. druh - pětikorunové | $62 - x$ | $5$ | $5\times (62 - x)$
|
| celkem | $62$ |
|
$226$ |
$2\times x + 5\times (62 - x) = 226$
$2\times x + 310 - 5\times x = 226$
$3\times x = 84$
$x = 28$
Dvoukorun bylo 28 a pětikorun 34.
11. 50 konzerv dvojího druhu stojí 700 Kč. První druh je po 16 Kč, druhý po 11 Kč. Kolik konzerv prvního a druhého druhu jsme koupili?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - dražší | $x$ | $16$ | $16\times x$
|
| 2. druh - levnější | $50 - x$ | $11$ | $11\times (50 - x)$
|
| celkem | $50$ |
|
$700$ |
$16\times x + 11\times (50 - x) = 700$
$16\times x + 550 - 11\times x = 700$
$5\times x = 150$
$x = 30$
Koupili jsme 30 dražších konzerv a 20 levnějších konzerv.
12. Kolik kg dvou druhů zboží musíme smíchat, abychom dostali 10 kg směsi po 35 Kč, jestliže první druh stojí 32 Kč za 1 kg a druhý 40 Kč za 1 kg.
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $40$ | $40\times x$
|
| 2. druh | $10 - x$ | $32$ | $32\times (10 - x)$
|
| celkem | $10$ |
|
$350$ |
$40\times x + 32\times (10 - x) = 350$
$40\times x + 320 - 32\times x = 350$
$8\times x = 30$
$x = 3,75$
Musíme smíchat 3,75 kg dražšího zboží a 6,25 kg levnějšího zboží.
13. 1 kg vepřového masa a 1 kg hovězího masa stojí dohromady 68 Kč. 1 kg vepřového masa a 3 kg hovězího masa stojí dohromady 112 Kč. Vypočítejte, kolik stojí 1 kg vepřového a 1 kg hovězího masa.
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - vepřové | $1$ | $x$ | $x$
|
| 2. druh - hovězí | $3$ | $y$ | $3y$
|
| celkem | $4$ | 68 | $112$ |
$x + y = 68$
$x + 3y = 112$
$x = 68 - y$
$68 - y + 3y = 112$
$2y = 44$
$y = 22$
Hovězí maso stojí 22 Kč a vepřové 46 Kč.
14. Limonáda se plní do menších láhví s objemem 0,33 litru a do větších s objemem 0,7 litru. Přitom 1 200 litrů limonády bylo stočeno do 3 300 láhví obou velikostí. Kolik menších a kolik větších láhví bylo plněno?
|
|
objem | počet lahví | celkový objem |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $0,33$ | $x$ | $0,33 x$ |
| 2. druh | $0,7$ | $y$ | $0,7 y$ |
| celkem |
|
3300 | $1200$ |
$x + y = 3300$
$0,33x + 0,7y = 1200$
$x = 3300 - y$
$0,33(3300 - y) + 0,7y = 1200$
$1089 - 0,33y + 0,7y = 1200$
$0,37y = 111$
$y = 300$
Bylo naplněno 300 větších a 3000 menších lahví.
15. Zahradnictví zakoupilo 80 květináčů v celkové hodnotě 2 832 Kč. Menší květináče byly po 32 Kč, větší po 40 Kč za kus. Kolik bylo kterých?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $32$ | $32\times x$ |
| 2. druh | $80 - x$ | $40$ | $40\times (80 - x)$ |
| celkem | $80$ |
|
$2832$ |
$32x + 40(80 - x) = 2832$
$32x + 3200 - 40x = 2832$
$8x = 368$
$x = 46$
Zakoupilo 46 levnějších a 34 dražších květináčů.
16. Jeden kilogram lacinější kávy stojí 150 Kč, jeden kilogram dražší kávy je za 200 Kč. Jak připravit směs 35 kg kávy po 180 Kč?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $150$ | $150\times x$
|
| 2. druh | $35 - x$ | $200$ | $200\times (35 - x)$
|
| celkem | $35$ |
|
$35 \times $ |
$150x + 200(35 - x) = 6300$
$150x + 7000 - 200x = 6300$
$50x = 700$
$x = 14$
Levnější kávy potřebujeme 14 kg a dražší 21 kg.
17. Ze dvou druhů čaje v ceně 160 Kč a 220 Kč za 1 kilogram se má připravit 20 kg směsi v ceně 205 Kč za 1 kilogram. Kolik kilogramů každého druhu čaje bude třeba smíchat?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $160$ | $160\times x$
|
| 2. druh | $20 - x$ | $220$ | $220\times (20 - x)$
|
| celkem | $20$ |
|
$20\times 205$ |
$160x + 220(20 - x) = 4100$
$160x + 4400 - 220x = 4100$
$60x = 300$
$x = 5$
Je třeba smíchat 5 kg levnějšího a 15 kg dražšího čaje.
18. Do obchodu přivezli 50 balení másla dvojího druhu v celkové ceně 844 Kč. Levnější druh byl po 16 Kč, dražší po 18 Kč za kus. Kolik bylo kterých?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $16$ | $16\times x$
|
| 2. druh | $50 - x$ | $18$ | $18\times (50 - x)$
|
| celkem | $50$ |
|
$844$ |
$16x + 18(50 - x) = 844$
$16x + 900 - 18x = 844$
$2x = 56$
$x = 28$
Přivezli 28 kusů levnějšího a 22 kusů dražšího másla.
19. V internátu je ve 48 pokojích ubytováno celkem 173 žáků. Některé pokoje jsou třílůžkové, některé čtyřlůžkové. Určete, kolik je kterých, jestliže všechny pokoje jsou plně obsazeny.
|
|
počet pokojů | počet lůžek | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh - třílůžkový pokoj | $x$ | $3$ | $3\times x$
|
| 2. druh - čtyřlůžkový pokoj | $48 - x$ | $4$ | $4\times (48 - x)$
|
| celkem | $48$ |
|
$173$ |
$3x + 4(48 - x) = 173$
$3x + 192 - 4x = 173$
$x = 19$
V internátu bylo 19 třílůžkových a 29 čtyřlůžkových pokojů.
20. Denní produkce mléka 630 litrů byla k odvozu slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví?
|
|
počet konví | objem | celkový objem |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $25$ | $25\times x$
|
| 2. druh | $22 - x$ | $35$ | $35\times (22 - x)$
|
| celkem | $22$ |
|
$630$ |
$25x + 35(22 - x) = 630$
$25x + 770 - 35x = 630$
$10x = 140$
$x = 14$
Menších konví bylo 14 a větších bylo 8.
21. Pokladník vyplatil 1390 Kč padesáti mincemi v hodnotě 20 Kč a 50 Kč. Kolik bylo dvacetikorunových a kolik padesátikorunových mincí?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $20$ | $20\times x$
|
| 2. druh | $50 - x$ | $50$ | $50\times (50 - x)$
|
| celkem | $50$ |
|
$1390$ |
$20x + 50(50 - x) = 1390$
$20x + 2500 - 50x = 1390$
$30x = 1110$
$x = 37$
Pokladník vyplatil 37 dvacetikorunových mincí a 13 padesátikorun.
22. Ze dvou druhů čaje v ceně 170 Kč a 210 Kč za 1 kg se má připravit 25 kg směsi v ceně 186 Kč za 1 kg. Kolik kilogramů každého druhu čaje je třeba smíchat?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $170$ | $170\times x$
|
| 2. druh | $25 - x$ | $210$ | $210\times (25 - x)$
|
| celkem | $25$ |
|
$25\times 186$ |
$170x + 210(25 - x) = 4650$
$170x + 5250 - 210x = 4650$
$40x = 600$
$x = 15$
Je třeba smíchat 15 kg levnějšího a 10 kg dražšího čaje.
23. Na stánku prodávali 60 košil dvojího druhu v celkové ceně 27 300 Kč. Levnější košile stála 420 Kč, dražší 480 Kč. Kolik bylo kterých?
|
|
množství | cena | celková cena |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $420$ | $420\times x$
|
| 2. druh | $60 - x$ | $480$ | $480\times (60 - x)$
|
| celkem | $60$ |
|
$27300$ |
$420x + 480(60 - x) = 27300$
$420x + 28800 - 480x = 27300$
$60x = 1500$
$x = 25$
Levnějších košil bylo 25 a dražších bylo 35 kusů.
24. V sále svítí celkem 50 žárovek po 60W resp. 200 W. Za 2,5 hodiny byla spotřeba 19 750 W. Kolik kterých žárovek svítilo?
|
|
množství | spotřeba | celková spotřeba za 1 hodinu |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $60$ | $60\times x$
|
| 2. druh | $50 - x$ | $200$ | $200\times (50 - x)$
|
| celkem | $50$ |
|
$19750/2,5$ |
$60x + 200(50 - x) = 19750/2,5$
$60x + 10000 - 200x = 7900$
$140x = 2100$
$x = 15$
Svítilo 15 slabších a 35 silnějších žárovek.
25. Na studentských kolejích je ve 140 třílůžkových a čtyřlůžkových pokojích ubytováno 496 studentů. Všechna lůžka jsou obsazena. Kolik je kterých pokojů?
|
|
počet pokojů | počet lůžek | celkový počet lůžek |
|---|---|---|---|
| 1. druh | $x$ | $3$ | $3\times x$
|
| 2. druh | $140 - x$ | $4$ | $4\times (140 - x)$
|
| celkem | $140$ |
|
$496$ |
$3x + 4(140 - x) = 496$
$3x + 560 - 4x = 496$
$x = 64$
Na kolejích bylo 64 třílůžkových a 76 čtyřlůžkových pokojů.