1. Vypočítej objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má délku hrany podstavy 45 cm a výšku 7 cm.
a=45cm
v=7cm
| Výpočet\; stěnové\; výšky
|
Objem
|
Povrch
|
|
v_{s}^{2}=v^{2}+(\frac{a}{2})^{2} v_{s}^{2}=7^{2}+22,5^{2} v_{s}=23,56\;cm |
V=\frac{a^{2}\times v}{3}
V=\frac{45^{2}\times 7}{3} V=4724\;cm^{3} |
S=S_{p}+S_{pl}
S=a^{2}+4\frac{av_{s}}{2} S=45^{2}+2\times 45\times 23,56 S=4149\;cm^{2} |
2. Jehlan s obdélníkovou podstavou má rozměry a = 6 cm, b = 8 cm. Boční hrany jsou shodné a jejich délka h = 12,5 cm. Vypočítej povrch jehlanu.
a=6\;cm
b=8\;cm
h=12,5\;cm
| Výpočet\; stěnové\; výšky\;v_{a}
|
Výpočet\; stěnové\; výšky\;v_{b}
|
Povrch
|
|
v_{a}^{2}=h^{2}-(\frac{a}{2})^{2} v_{a}^{2}=12,5^{2}-3^{2} v_{a}^{2}=12,13\;cm |
v_{b}^{2}=h^{2}-(\frac{b}{2})^{2}
v_{b}^{2}=12,5^{2}-4^{2} v_{b}^{2}=11,84\;cm |
S=S_{p}+S_{pl}
S=(a\times b)+2\frac{a\times v_{a}}{2}+2\frac{b\times v_{b}}{2} S=6\times 8+6\times 12,13+8\times 11,84 S=215,5\;cm^{2} |
3. Krychle má délku hrany 12 dm, je do ní vepsaný jehlan s vrcholem ve středu horní stěny kostky. Vypočítej objem a povrch tohoto jehlanu.
a=12\;dm
v=12\;dm
| Výpočet\; stěnové\; výšky
|
Objem
|
Povrch
|
|
v_{a}^{2}=v^{2}+(\frac{a}{2})^{2} v_{a}^{2}=12^{2}+6^{2} v_{a}=13,42\;dm |
V=\frac{a^{2}\times v}{3}
V=\frac{12^{2}\times 12}{3} V=576\;dm^{3} |
S=S_{p}+S_{pl}
S=a^{2}+4\frac{av_{s}}{2} S=12^{2}+2\times 12\times 13,42 S=466\;dm^{2} |
4. Kolik litrů vzduchu je pod střechou věže, která má tvar pravidelného šestibokého jehlanu s hranou podstavy délky 3,6 m a výškou 2,5 m, Předpokládejme, že krovy střechy zabírají asi 7% objemu prostoru pod střechou?
a=3,6\;m
v=2,5\;m
| Výpočet\; v_{p}
|
Obsah\;podstavy
|
Objem
|
|
v_{p}^{2}=a^{2}-(\frac{a}{2})^{2} v_{p}^{2}=3,6^{2}-1,8^{2} v_{p}=3,12\;m |
S_{p}=6\times \frac{a\times v_{p}}{2}
S_{p}=3\times a\times v_{p} S_{p}=3\times 3,6 \times 3,12 S_{p}=33,7 \;m^{2} |
V=\frac{S_{p} \times v}{3}
V=\frac{33,7 \times 2,5}{3} V=28,08\;m^{3} |
| zaokrouhlený\; výsledek
100\; \text{%}= 28,08 \; m^{3}=28080 \;l 93\;\text{%} =26114 \; l |
výsledek\; bez\; zaokrouhlení
\large V=0,93\times \frac{3\times a\times \sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}} \times v}{3} \large V=0,93\times\frac{3\times 3,6\times \sqrt{3,6^{2}-(\frac{3,6}{2})^{2}} \times 2,5}{3} \large V=26095\;l |
5. Rotační kužel a rotační válec mají stejný objem 180 cm3 a stejnou výšku v = 15 cm. Které z těchto dvou těles má větší povrch?
| Válec
|
Kužel
|
| V=180\;cm^{3}
|
V=180\;cm^{3}
|
| v=15\;cm
|
v=15\;cm
|
| Výpočet\; poloměru\; válce
|
Výpočet\; poloměru\; kužele
|
| V=\pi r^{2}\times v
r=\sqrt\frac{V}{\pi \times v} r=\sqrt\frac{180}{\pi \times 15} r=1,95\;cm |
V=\frac{\pi r^{2}\times v}{3}
r=\sqrt\frac{3V}{\pi \times v} r=\sqrt\frac{3\times 180}{\pi \times 15} r=3,39\;cm |
|
|
|
| Výpočet\; povrchu\; válce
|
Výpočet\; povrchu\; kužele
|
| S=\pi r^{2}+2\pi r v
S=\pi 1,95^{2}+2\pi\times 1,95 \times 15 S=207,7\;cm^{2} Větší povrch má válec. |
Hrana\; kužele
s^{2}=r^{2}+v^{2} s^{2}=3,39^{2}+15^{2} s=15,4\;cm S=\pi r^{2}+\pi r s S=\pi 3,39^{2}+\pi \times 3,39 \times 15,4 S=200,1\;cm^{2} |
6. Vypočítej objem a povrch rotačního kužele o poloměru podstavy r = 23 cm a výšce v=4,6 cm.
r=23\;cm
v=4,6\;cm
| Výpočet\; hrany
|
Povrch\;kužele
|
Objem
|
|
s^{2}=r^{2}+v^{2} s^{2}=23^{2}+4,6^{2} s=23,5\;cm |
S=\pi r^{2}+\pi r s
S=\pi 23^{2}+\pi \times 23 \times 23,5 S=3359\;cm^{2} |
V=\frac{\pi r^{2} \times v}{3}
V=\frac{\pi 23^{2} \times 4,6}{3} V=2548\;cm^{3} |
7. Čtyřicet stejných dopravních kuželů s průměrem podstavy d = 36 cm a výškou v = 46 cm máme natřít zvenčí oranžovou barvou (bez podstavy). Kolik korun zaplatíme za barvu, pokud na natření 1 m2 potřebujeme 500 cm3 barvy a 1l barvy stojí 8 Kč?
r=18\;cm
v=46\;cm
| Výpočet\; hrany
|
Povrch\;pláště\;kužele
|
Platba
|
|
s^{2}=r^{2}+v^{2} s^{2}=18^{2}+46^{2} s=49,4\;cm |
S=\pi r s
S=\pi \times 18 \times 49,4 S=2794\;cm^{2} |
Celkový povrch
40\; kuželů\; má\; plášť\; o\; povrchu \;2794\; \times \;40=111760\;cm^{2}=11,1760\;m^{2} Počet litrů barvy 11,1760\;m^{2} \times 0,5=5,588\;l Celková cena 5,588\times 8 = 44,7\;Kč |