Povrch těles

1.c

Pravidelný čtyřboký hranol má podstavu ve tvaru čtverce. Každý čtyřboký hranol má:

- 4 vrcholy v horní podstavě,

- 4 vrcholy v dolní podstavě.

Celkový počet vrcholů je tedy 8.

2.b

Hranol má:
- 5 hran v horní podstavě,
- 5 hran v dolní podstavě,
- 5 svislých hran, které spojují odpovídající vrcholy podstav.

Celkový počet hran je tedy 15.

3.e

4.b

Povrch krychle je dán vzorcem:
$P = 6 \times a^2$
kde $a$ je délka hrany krychle. Známe-li povrch $P = 384 \, \text{cm}^2$, můžeme dosadit do vzorce:
$384 = 6 \times a^2$
$a^2 = \frac{384}{6} = 64$
$a = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}$

Délka hrany krychle je tedy 8 cm.

5.a

Povrch jedné krychle je dán vzorcem:
$P_{\text{krychle}} = 6 \times a^2$
kde $a = 2 \, \text{cm}$ je délka hrany krychle.

Dosadíme hodnotu:
$P_{\text{krychle}} = 6 \times 2^2 = 6 \times 4 = 24 \, \text{cm}^2$

Celkový povrch čtyř krychlí je:
$P_{\text{celkové}} = 4 \times 24 = 96 \, \text{cm}^2$

Překryté plochy:
- Překryté boční plochy mezi sousedními krychlemi v dolní řadě: $16 \, \text{cm}^2$
- Překryté plochy mezi prostřední a horní krychlí: $8 \, \text{cm}^2$

Odečteme překryté plochy:
$P_{\text{celkové}} = 96 - 24 = 72 \, \text{cm}^2$

6.c

Nejprve vypočítáme povrch kvádru. Povrch kvádru je dán vzorcem:
$P = 2 \times (a \times b + b \times c + a \times c)$
Dosadíme rozměry $a = 10 \, \text{dm}, b = 8 \, \text{dm}, c = 5 \, \text{dm}$:
$P = 2 \times (10 \times 8 + 8 \times 5 + 10 \times 5)$
$P = 2 \times (80 + 40 + 50) = 2 \times 170 = 340 \, \text{dm}^2$

Je třeba připočítat 10 % na záhyby a odpad:
$P_{\text{celkem}} = 1.1 \times 340 = 374 \, \text{dm}^2$

Na zhotovení kufru je třeba 374 dm² kůže.

7.c

Nejprve si uvědomíme, že 1 litr vody odpovídá 1 dm³. Objem vody v akváriu je tedy 9 dm³, což odpovídá výšce vodního sloupce $h$ ve tvaru kvádru. Objem kvádru je dán vzorcem:
$V = a \times b \times h$
kde:
- $a = 2.5 \, \text{dm}$ (protože 25 cm = 2.5 dm),
- $b = 3 \, \text{dm}$,
- $V = 9 \, \text{dm}^3$.

Dosadíme do vzorce pro objem:
$9 = 2.5 \times 3 \times h$
$h = \frac{9}{2.5 \times 3} = \frac{9}{7.5} = 1.2 \, \text{dm}$

Nyní vypočítáme obsah namočených ploch. Tyto plochy zahrnují:
- dno: $a \times b = 2.5 \times 3 = 7.5 \, \text{dm}^2$,
- dvě boční stěny: $2 \times (a \times h) = 2 \times (2.5 \times 1.2) = 6 \, \text{dm}^2$,
- dvě boční stěny: $2 \times (b \times h) = 2 \times (3 \times 1.2) = 7.2 \, \text{dm}^2$.

Součet obsahů namočených ploch je:
$P = 7.5 + 6 + 7.2 = 20.7 \, \text{dm}^2$

8.a

Povrch jehlanu je součet plochy podstavy a ploch čtyř bočních trojúhelníků. Plocha podstavy (čtverec) je:
$S_{\text{podstava}} = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{m}^2$

Pro výpočet plochy boční stěny (trojúhelníky) potřebujeme vypočítat jejich výšku, která je svislou výškou jehlanu. Pomocí Pythagorovy věty vypočítáme výšku bočních stěn $s$:
$s = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + v^2} = \sqrt{\left( \frac{6}{2} \right)^2 + 4^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \, \text{m}$

Plocha jednoho bočního trojúhelníku je:
$S_{\text{trojúhelník}} = \frac{1}{2} \times a \times s = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15 \, \text{m}^2$

Plocha čtyř bočních stěn je:
$S_{\text{boční}} = 4 \times 15 = 60 \, \text{m}^2$

Celková plocha střechy (bez podstavy) je 60 m². Poškozeno je 25 % krytiny, což je:
$25 \% \times 60 = 15 \, \text{m}^2$

Na opravu střechy je třeba 15 m² krytiny.

9.d

Povrch válce je součtem plochy obou podstav a pláště válce. Povrch válce je dán vzorcem:
$P = 2 \times \pi \times r^2 + 2 \times \pi \times r \times v$
kde:
- $r = \frac{d}{2} = \frac{20 \, \text{cm}}{2} = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$,
- $v = 0.3 \, \text{m}$.

Dosadíme do vzorce:
$P = 2 \times \pi \times (0.1)^2 + 2 \times \pi \times 0.1 \times 0.3$
$P = 2 \times \pi \times 0.01 + 2 \times \pi \times 0.03$
$P = 0.02 \pi + 0.06 \pi = 0.08 \pi$

Vypočítáme přibližnou hodnotu povrchu:
$P \approx 0.08 \times 3.14 = 0.2512 \, \text{m}^2 = 25.12 \, \text{dm}^2$

Povrch válce je přibližně 25,12 dm². 

10.e

Nejprve vypočítáme obvod válce, který určuje, kolik cesty uválcuje při jednom otočení. Obvod válce je dán vzorcem:
$O = \pi \times d$
kde $d = 2 \, \text{m}$ je průměr válce:
$O = \pi \times 2 = 2\pi \approx 6.28 \, \text{m}$

Při jednom otočení válce uválcuje válec cestu o ploše:
$P = O \times \text{šířka} = 6.28 \times 3 = 18.84 \, \text{m}^2$

Při 5 otočeních uválcuje válec plochu:
$P_{\text{celkem}} = 5 \times 18.84 = 94.2 \, \text{m}^2$