1.a
Nejprve vypočítáme objem kvádru a objem jedné krychle:
$V_{\text{kvádr}} = 6 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} = 480 \, \text{cm}^3$
2. Objem jedné krychle (s hranou dlouhou 2 cm):
$V_{\text{krychle}} = 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} \times 2 \, \text{cm} = 8 \, \text{cm}^3$
Nyní zjistíme, kolik krychlí se vejde do kvádru vydělením objemu kvádru objemem jedné krychle:
$\frac{V_{\text{kvádr}}}{V_{\text{krychle}}} = \frac{480 \, \text{cm}^3}{8 \, \text{cm}^3} = 60$
Do kvádru se tedy vejde 60 krychlí s hranou dlouhou 2 cm.
2.d
Objem krychle je úměrný třetí mocnině délky hrany.
Proto se objem krychle (a tím i hmotnost plastelíny) bude měnit v závislosti na třetí mocnině poměru délek hran.
1. Objem krychle s hranou 3 cm:
$V_1 = a_1^3 = 3^3 = 27 \, \text{cm}^3$
Na vymodelování této krychle bylo potřeba 27 gramů plastelíny.
2. Objem krychle s hranou 6 cm:
$V_2 = a_2^3 = 6^3 = 216 \, \text{cm}^3$
Poměr objemů obou krychlí je:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{216}{27} = 8$
Proto bude hmotnost plastelíny potřebná na větší krychli 8krát větší než na menší krychli:
$m_2 = 8 \times 27 = 216 \, \text{gramů}$
Na vymodelování krychle s hranou dlouhou 6 cm bude potřeba 216 gramů plastelíny.
3.b
1 milion litrů odpovídá objemu 1000 m³, protože 1 m³ = 1000 litrů.
Objem kvádru $V$ je dán vzorcem:
$V = d \times š \times v$
kde $d$ je délka, $š$ je šířka a $v$ je hloubka.
Víme, že:
- $š = 10 \, \text{m}$,
- $v = 2 \, \text{m}$,
- $V = 1000 \, \text{m}^3$.
Teď dosadíme do vzorce pro objem a vyřešíme $d$:
$1000 = d \times 10 \times 2$
$1000 = 20d$
$d = \frac{1000}{20} = 50 \, \text{m}$
Délka bazénu je tedy 50 m.
4.c
Nejprve vypočítáme objem akvária. Protože rozměry jsou v centimetrech, převedeme je na metry:
$V = 0.30 \, \text{m} \times 0.40 \, \text{m} \times 0.60 \, \text{m} = 0.072 \, \text{m}^3$
1 metr krychlový odpovídá 1000 litrům, takže objem akvária je:
$V = 0.072 \times 1000 = 72 \, \text{litrů}$
Akvárium je naplněno pouze na 95 %, takže objem vody v akváriu je:
$V_{\text{voda}} = 0.95 \times 72 = 68.4 \, \text{litrů}$
Každá rybka potřebuje 3 litry vody, takže maximální počet rybek je:
$n = \frac{68.4}{3} = 22.8$
Po zaokrouhlení dolů může Martina chovat 22 rybek.
5.b
Objem kvádru $V$ je dán vzorcem:
$V = a \times b \times c$
Pokud každou hranu $a$, $b$ a $c$ zvětšíme dvakrát, nový objem $V_{\text{nový}}$ bude:
$V_{\text{nový}} = (2a) \times (2b) \times (2c) = 2^3 \times a \times b \times c = 8 \times V$
Objem kvádru se tedy zvětší osmkrát.
6.a
Obsahy tří stěn kvádru jsou:
$S_1 = a \times b = 6 \, \text{cm}^2$, $S_2 = a \times c = 10 \, \text{cm}^2$, $S_3 = b \times c = 15 \, \text{cm}^2$
Vynásobíme tyto tři rovnice:
$(S_1) \times (S_2) \times (S_3) = (a \times b) \times (a \times c) \times (b \times c)$
$S_1 \times S_2 \times S_3 = (a \times b \times c)^2$
$6 \times 10 \times 15 = V^2$
$900 = V^2$
$V = \sqrt{900} = 30 \, \text{cm}^3$
Objem kvádru je tedy 30 cm³.
7.e
Nejprve vypočítáme, kolik vody přiteče za 4 hodiny:
$62.8 \, \text{hl/h} \times 4 \, \text{h} = 251.2 \, \text{hl}$
Protože 1 hl = 0.1 m³, objem vody je:
$251.2 \, \text{hl} = 25.12 \, \text{m}^3$
Objem válce je dán vzorcem:
$V = \pi r^2 h$
kde $r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{m}$ je poloměr základny a $h$ je výška.
Dosadíme do vzorce pro objem:
$25.12 = \pi \times 4^2 \times h$
$25.12 = 16\pi \times h$
$h = \frac{25.12}{16\pi} \approx 0.5 \, \text{m}$
Nádrž bude naplněna přibližně do výšky 0.5 m.
8.c
Pro výpočet výšky pravidelného čtyřbokého jehlanu použijeme vzorec pro objem jehlanu:
$V = \frac{1}{3} S \times v$
kde:
- $V$ je objem jehlanu,
- $S$ je obsah podstavy,
- $v$ je výška jehlanu.
Krok 1: Výpočet obsahu podstavy
Podstava je pravidelný čtverec, jehož strana $a$ je dlouhá 40 cm, což je 4 dm (protože 40 cm = 4 dm).
Obsah podstavy $S$ je:
$S = a^2 = 4^2 = 16 \, \text{dm}^2$
Krok 2: Dosazení do vzorce pro objem
Objem jehlanu je 24 dm³, tedy:
$V = \frac{1}{3} S \times v$
Dosadíme známé hodnoty:
$24 = \frac{1}{3} \times 16 \times v$
Vynásobíme rovnici třemi, abychom se zbavili zlomku:
$72 = 16 \times v$
Vydělíme obě strany 16, abychom našli výšku $v$:
$v = \frac{72}{16} = 4.5 \, \text{dm}$
Výška jehlanu je 4,5 dm.