1. Vypočítejte:
a) $70^{3} + 7^{3} + 0,7^{3} =(7.10)^{3}+7^{3}+(7.0,1)^{3}=343.1000+343+343.0,001=343000+343+0,343=343343,343$
b) $13^{3} – 1,3^{3} – 0,13^{3} =13^{3}-(13.0,1)^{3}-(13.0,01)^{3}=2197-2197.0,001-2197.0,000001=2197-2,197-0,002197=2194,800803$
e) $( 7 – 5 )^{3} . 2^{3} =2^{3}.2^{3}=4^{3}=64$
f)$ 0,4^{3} + 3 . 0,4^{3} =0,064+0,192=0,256$
g)$ 4^{3} : (-2)3 =64:(-8)=-8$
h) $0,1^{3} – ( 3,4 – 1,2^{3}) ^{3} =0,001-(3,4-1,728)^{3}=0,001-4,674=4,673$
i) $0,8 -1,1^{3} . 0,3^{3} =0,8-(1,1*0,3)^{3}=0,8-0,035937=0,764063$
2. Nerovnost $a^{3} < 0$
(A) neplatí pro žádné číslo a.
(B) platí jen pro záporná čísla a.
(C) platí jen pro čísla a > 1
(D) platí jen pro kladná čísla a < 1
(E) platí pro každé číslo a.
3. Která z následujících rovností neplatí:
(A) $(-5)^{3} = -5^{3}$
(B) $(5^{2})^{3} = (5^{3})^{2}$
(C) $ -5^{2} = (-5)^{2}$
(D) $5.5^{3} = (5^{2})^{2}$
(E) $(0,5^{2})^{2} = (-0,5)^{4}$
4. Vypočítejte:
$\Large (\frac{81}{2^{2}})^{3}\div (\frac{3^{3}}{32})^{5}=(\frac{3^{4}}{2^{2}})^{3}\div (\frac{3^{3}}{2^{5}})^{5}=\frac{3^{12}}{2^{6}}\div \frac{3^{15}}{2^{25}}=\frac{3^{12}}{2^{6}}\times \frac{2^{25}}{3^{15}}=\frac{2^{19}}{3^{3}}$
5. Vypočtěte:
a) $5,2 .10^{5} + 5,2 . 10^{4} – 2,4 . 10^{3} – 2,4 . 10^{2} + 1,8 . 10 – 5 =520000+52000-2400-240+18-5=569373$
b) $2,7 . 10^{9} – 5,7 . 10^{6} + 4 . 10^{5} – 3,2 . 10^{2} + 5 . 10 – 1 =2700000000-5700000+400000-320+50-1=2694699729$
6. Vypočtěte:
a) $3^{-2} + 0,4^{2} =\frac{1}{9}+\frac{16}{100}=\frac{1}{9}+\frac{4}{25}=\frac{25+36}{225}=\frac{61}{225}$
b) $0,5^{-2} + 0,4^{-3} + 0,2^{2} =(\frac{5}{10})^{-2} + (\frac{4}{10})^{-3} + 0,2^{2}=(\frac{10}{5})^{2} + (\frac{10}{4})^{3} + 0,04=4+15,625+0,04=19,665$
c) $0^{3} – ( - 1,7 )^{2} =-2,89$
d) $0, 5√196 − 0, 2√0, 36 =0,5.14-0,2.0,6=7-0,12=6,88$
e)$√0, 25.0, 64.√0, 36.0, 25 =0,5.0,8.0,6.0,5=0,12$
f) $√10.√8.√5 =√400=20$
j) $\frac{5+√1}{√25−16}=2$
k) $8 √1\frac{9}{16} − 1 =8.\frac{5}{4}-1=9$
l). $√1\frac{7}{9} + \frac{1}{7}√0, 0196 =\frac{4}{3}+\frac{14}{700}=\frac{4}{3}+\frac{1}{50}=\frac{200+3}{150}=\frac{203}{150}$
7. Body A, B, C označují tři města. Město A leží 30 km severně od města B a 50 km západně od města C. Stanovte vzdálenost mezi městy B,C.
Vzdálenost mezi městy BC tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku, na jehož vrcholech leží daná města.
$c^{2}=a^{2} +b^{2}$
$c^{2}=900 +2500$
$c=58,3\;km$
8. Stěna velké krychle má obsah $80\; dm^{2}$. O malé krychli víme, že se její povrch rovná 80 % povrchu krychle. Určete délku hrany malé krychle.
Krychle má 6 stěn. Povrch velké krychle je tedy $480\; dm^{2}$. 80 % z 480 je 384. Malá krychle má povrch $384\; dm^{2}$.
$S=6\times a^{2}$
$384=6\times a^{2}$
$a^{2}=64$
$a=8\; dm$
9. Jak daleko jsou od sebe hroty ručiček v 9.00 hodin? Velká ručička 9,6 mm a malá ručička 4 mm.
$c^{2}=a^{2} +b^{2}$
$c^{2}=9,6^{2} +4^{2}$
$c^{2}=92,16+16$
$c=10,4\;mm$
10. A, B, jsou dva různé body kružnice k(S; 7,5 cm) a jsou spojeny úsečkou AB = 9 cm.Vypočítejte vzdálenost středu S kružnice k od středu S' úsečky AB.
$c^{2}=a^{2} +b^{2}$
$7,5^{2}=4,5^{2} +b^{2}$
$56,25=20,25+b^{2}$
$b^{2}=36,25$
$b=6,02\;cm$