1a

$ \left(\frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}-\sqrt{ab}\right):(a-b)+\frac{2\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ a\sqrt a=(\sqrt a)^3,\quad b\sqrt b=(\sqrt b)^3 $

$ \frac{a\sqrt a+b\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =a-\sqrt{ab}+b $

$ a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}=a-2\sqrt{ab}+b $

$ =(\sqrt a-\sqrt b)^2 $

$ a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b) $

$ \frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}+\frac{2\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{2\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

Výsledek: 1

1b

$ \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a+\sqrt b)^2 $

$ a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2 $

$ \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{\sqrt a+\sqrt b}-\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ =\sqrt a+\sqrt b-(\sqrt a-\sqrt b) $

$ =\sqrt a+\sqrt b-\sqrt a+\sqrt b $

Výsledek: $2\sqrt b$

1c

$ \left(\sqrt a+\frac{ab^2+c}{\sqrt{ab^2+c}}\right):(b\sqrt a+b\sqrt{ab^2+c}) $

$ \frac{ab^2+c}{\sqrt{ab^2+c}}=\sqrt{ab^2+c} $

$ \frac{\sqrt a+\sqrt{ab^2+c}}{b\sqrt a+b\sqrt{ab^2+c}} $

$ =\frac{\sqrt a+\sqrt{ab^2+c}}{b(\sqrt a+\sqrt{ab^2+c})} $

Výsledek: $\frac1b$

1d

$ \left(a\sqrt{\frac ba}+\frac b{1-\sqrt{\frac ba}}\right):\frac{b+\sqrt{ab}}{b\left(\frac1b-\frac1a\right)} $

$ a\sqrt{\frac ba}=\sqrt{ab} $

$ 1-\sqrt{\frac ba}=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a} $

$ \frac b{1-\sqrt{\frac ba}}=\frac{b\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ \sqrt{ab}+\frac{b\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ =\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)+b\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ =\frac{a\sqrt b-b\sqrt a+b\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} $

$ =\frac{a\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} $

Druhá část:

$ b\left(\frac1b-\frac1a\right)=b\cdot \frac{a-b}{ab} $

$ =\frac{a-b}{a} $

$ \frac{b+\sqrt{ab}}{\frac{a-b}{a}}=\frac{a(b+\sqrt{ab})}{a-b} $

$ b+\sqrt{ab}=\sqrt b(\sqrt b+\sqrt a) $

$ a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b) $

$ \frac{a\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} $

$ =\frac{a\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} $

Celý výraz:

$ \frac{a\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}:\frac{a\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} $

Výsledek: 1

1e

$ \left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}\right):\frac{4a\sqrt{a^2-b^2}}{b^2} $

Označíme:

$ x=\sqrt{a^2-b^2} $

$ \left(\frac{a+x}{a-x}-\frac{a-x}{a+x}\right):\frac{4ax}{b^2} $

$ \frac{(a+x)^2-(a-x)^2}{(a-x)(a+x)}:\frac{4ax}{b^2} $

$ \frac{a^2+2ax+x^2-(a^2-2ax+x^2)}{a^2-x^2}:\frac{4ax}{b^2} $

$ \frac{4ax}{a^2-x^2}:\frac{4ax}{b^2} $

Protože:

$ x^2=a^2-b^2 $

$ a^2-x^2=a^2-(a^2-b^2)=b^2 $

$ \frac{4ax}{b^2}:\frac{4ax}{b^2} $

Výsledek: 1

1f

$ \frac{a\left(\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2b\sqrt a}\right)^{-1}+b\left(\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2a\sqrt b}\right)^{-1}}{\left(\frac{a+\sqrt{ab}}{2ab}\right)^{-1}+\left(\frac{b+\sqrt{ab}}{2ab}\right)^{-1}} $

Použijeme:

$ \left(\frac xy\right)^{-1}=\frac yx $

Čitatel:

$ a\cdot \frac{2b\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}+b\cdot \frac{2a\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{2ab\sqrt a+2ab\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{2ab(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =2ab $

Jmenovatel:

$ \frac{2ab}{a+\sqrt{ab}}+\frac{2ab}{b+\sqrt{ab}} $

$ a+\sqrt{ab}=\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b) $

$ b+\sqrt{ab}=\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b) $

$ \frac{2ab}{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)}+\frac{2ab}{\sqrt b(\sqrt a+\sqrt b)} $

$ =\frac{2b\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{2a\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{2b\sqrt a+2a\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =\frac{2\sqrt{ab}(\sqrt b+\sqrt a)}{\sqrt a+\sqrt b} $

$ =2\sqrt{ab} $

Celý výraz:

$ \frac{2ab}{2\sqrt{ab}} $

Výsledek: $\sqrt{ab}$

2a

$ \frac{a\sqrt a}{\sqrt[5]{a^4\sqrt[3]{a^2}}}:\frac{a^{\frac12}a^{-1}}{\sqrt[3]a} $

$ a\sqrt a=a^{1+\frac12}=a^{\frac32} $

$ \sqrt[3]{a^2}=a^{\frac23} $

$ \sqrt[5]{a^4\sqrt[3]{a^2}}=\sqrt[5]{a^4\cdot a^{\frac23}} $

$ =\sqrt[5]{a^{\frac{14}{3}}}=a^{\frac{14}{15}} $

$ \frac{a^{\frac32}}{a^{\frac{14}{15}}}=a^{\frac32-\frac{14}{15}}=a^{\frac{17}{30}} $

Druhá část:

$ \frac{a^{\frac12}a^{-1}}{\sqrt[3]a}=\frac{a^{-\frac12}}{a^{\frac13}} $

$ =a^{-\frac12-\frac13}=a^{-\frac56} $

Celý výraz:

$ a^{\frac{17}{30}}:a^{-\frac56} $

$ =a^{\frac{17}{30}+\frac{25}{30}} $

$ =a^{\frac{42}{30}}=a^{\frac75} $

Výsledek: $a\sqrt[5]{a^2}$

2b

$ \sqrt{x\sqrt[3]{y^{-1}}}:\sqrt[3]{y^2\sqrt{x^3}}+\sqrt[6]y:y $

$ \sqrt{x\sqrt[3]{y^{-1}}}=\sqrt{x\cdot y^{-\frac13}} $

$ =x^{\frac12}y^{-\frac16} $

$ \sqrt[3]{y^2\sqrt{x^3}}=\sqrt[3]{y^2\cdot x^{\frac32}} $

$ =y^{\frac23}x^{\frac12} $

$ x^{\frac12}y^{-\frac16}:x^{\frac12}y^{\frac23} $

$ =y^{-\frac16-\frac23} $

$ =y^{-\frac16-\frac46}=y^{-\frac56} $

Druhá část:

$ \sqrt[6]y:y=y^{\frac16}:y^1 $

$ =y^{\frac16-1}=y^{-\frac56} $

Celý výraz:

$ y^{-\frac56}+y^{-\frac56} $

$ =2y^{-\frac56} $

Výsledek: $\frac2{\sqrt[6]{y^5}}$

2c

$ \frac{\sqrt[6]{a^5}\sqrt b}{a\sqrt[3]{ab}}:\frac{\sqrt[4]{ab^3}}{\sqrt[6]{a^{11}}} $

$ \frac{a^{\frac56}b^{\frac12}}{a\cdot a^{\frac13}b^{\frac13}}:\frac{a^{\frac14}b^{\frac34}}{a^{\frac{11}{6}}} $

První zlomek:

$ \frac{a^{\frac56}b^{\frac12}}{a^{\frac43}b^{\frac13}} $

$ =a^{\frac56-\frac43}b^{\frac12-\frac13} $

$ =a^{-\frac12}b^{\frac16} $

Druhý zlomek:

$ \frac{a^{\frac14}b^{\frac34}}{a^{\frac{11}{6}}} $

$ =a^{\frac14-\frac{11}{6}}b^{\frac34} $

$ =a^{-\frac{19}{12}}b^{\frac34} $

Celý výraz:

$ a^{-\frac12}b^{\frac16}:a^{-\frac{19}{12}}b^{\frac34} $

$ =a^{-\frac12+\frac{19}{12}}b^{\frac16-\frac34} $

$ =a^{\frac{13}{12}}b^{-\frac7{12}} $

$ =\frac ab\cdot a^{\frac1{12}}b^{\frac5{12}} $

Výsledek: $\frac ab\sqrt[12]{ab^5}$

2d

$ \frac{\sqrt{a\sqrt{a\sqrt a}}}{\sqrt[8]{a^3}} $

$ \sqrt a=a^{\frac12} $

$ a\sqrt a=a^{1+\frac12}=a^{\frac32} $

$ \sqrt{a\sqrt a}=a^{\frac34} $

$ a\sqrt{a\sqrt a}=a^{1+\frac34}=a^{\frac74} $

$ \sqrt{a^{\frac74}}=a^{\frac78} $

Jmenovatel:

$ \sqrt[8]{a^3}=a^{\frac38} $

Celý výraz:

$ \frac{a^{\frac78}}{a^{\frac38}}=a^{\frac78-\frac38} $

$ =a^{\frac48}=a^{\frac12} $

Výsledek: $\sqrt a$

2e

$8a^{-\frac13}\sqrt{y^{-\frac13}\cdot a\cdot \sqrt{y^{\frac43}}}\cdot \sqrt{a\sqrt[3]y}$

$=8a^{-\frac13}\sqrt{y^{-\frac13}\cdot a\cdot y^{\frac23}}\cdot \sqrt{a\cdot y^{\frac13}}$

$=8a^{-\frac13}\sqrt{ay^{\frac13}}\cdot \sqrt{ay^{\frac13}}$

$=8a^{-\frac13}\cdot ay^{\frac13}$

$=8a^{\frac23}y^{\frac13}$

$=8\sqrt[3]{a^2y}$

Výsledek:

$8\sqrt[3]{a^2y}$

2f

$ \sqrt[5]{\left(\frac{a^{-1}\sqrt a}{a^{\frac23}\sqrt[3]a}\right)^{-3}} $

$ a^{-1}\sqrt a=a^{-1}\cdot a^{\frac12}=a^{-\frac12} $

$ a^{\frac23}\sqrt[3]a=a^{\frac23}\cdot a^{\frac13}=a^1 $

$ \frac{a^{-\frac12}}{a}=a^{-\frac12-1}=a^{-\frac32} $

$ \left(a^{-\frac32}\right)^{-3}=a^{\frac92} $

$ \sqrt[5]{a^{\frac92}}=a^{\frac9{10}} $

Výsledek: $\sqrt[10]{a^9}$