Lineární rovnice s parametrem

$\textbf{a/} \quad x(p+2) + p(x-2) = x + p$

Rozepíšeme závorky:

$xp + 2x + px - 2p = x + p$


Sloučíme členy s $x$ na levou stranu:

$2px + 2x - 2p = x + p$

$2px + 2x - x = p + 2p$

$x(2p + 1) = 3p$


$\boxed{p \neq -\tfrac{1}{2}: \quad x = \frac{3p}{2p+1}}$

$\boxed{p = -\tfrac{1}{2}: \quad 0 = -\tfrac{3}{2} \implies \text{žádné řešení}}$

$\textbf{b/} \quad p(x+1) = 6(x-1) + 2p$

Rozepíšeme závorky:

$px + p = 6x - 6 + 2p$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu, ostatní na pravou:

$px - 6x = 2p - p - 6$

$x(p - 6) = p - 6$


$\boxed{p \neq 6: \quad x = \frac{p-6}{p-6} = 1}$

$\boxed{p = 6: \quad 0 = 0 \implies x \in \mathbb{R}}$


$\textbf{c/} \quad p^2(x-1) + x = 1 - 2(px+1)$

Rozepíšeme závorky:

$p^2 x - p^2 + x = 1 - 2px - 2$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$p^2 x + x + 2px = 1 - 2 + p^2$

$x(p^2 + 2p + 1) = p^2 - 1$

$x(p+1)^2 = (p-1)(p+1)$


$\boxed{p \neq -1: \quad x = \frac{(p-1)(p+1)}{(p+1)^2} = \frac{p-1}{p+1}}$

$\boxed{p = -1: \quad 0 = 0 \implies x \in \mathbb{R}}$


$\textbf{d/} \quad (x+1)(p+1) = 2px$

Rozepíšeme závorky:

$xp + x + p + 1 = 2px$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$xp + x - 2px = -p - 1$

$x(p + 1 - 2p) = -(p+1)$

$x(1 - p) = -(p+1)$

$x(p - 1) = p + 1$


$\boxed{p \neq 1: \quad x = \frac{p+1}{p-1}}$

$\boxed{p = 1: \quad 0 = 2 \implies \text{žádné řešení}}$


$\textbf{e/} \quad x(1-p) + p(1-x) = 2x$

Rozepíšeme závorky:

$x - px + p - px = 2x$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$x - px - px - 2x = -p$

$x(1 - 2p - 2) = -p$

$x(-1 - 2p) = -p$

$x(1 + 2p) = p$


$\boxed{p \neq -\tfrac{1}{2}: \quad x = \frac{p}{1+2p}}$

$\boxed{p = -\tfrac{1}{2}: \quad 0 = -\tfrac{1}{2} \implies \text{žádné řešení}}$


$\textbf{f/} \quad 8 + p^2 x + 4x = 4p + 4px$

Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$p^2 x + 4x - 4px = 4p - 8$

$x(p^2 - 4p + 4) = 4(p - 2)$

$x(p-2)^2 = 4(p-2)$


$\boxed{p \neq 2: \quad x = \frac{4(p-2)}{(p-2)^2} = \frac{4}{p-2}}$

$\boxed{p = 2: \quad 0 = 0 \implies x \in \mathbb{R}}$


$\textbf{g/} \quad \frac{2x+p^2}{p+3}+\frac{2x-p^2}{p-3}=\frac{(p^2+4)x}{p^2-9}$

Podmínky existence: $p \neq \pm 3$. Násobíme obě strany výrazem $(p^2 - 9) = (p+3)(p-3)$:

$(2x+p^2)(p-3) + (2x-p^2)(p+3) = (p^2+4)x$


Rozepíšeme levou stranu:

$2xp - 6x + p^3 - 3p^2 + 2xp + 6x - p^3 - 3p^2 = (p^2+4)x$

$4px - 6p^2 = (p^2+4)x$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$4px - p^2 x - 4x = 6p^2$

$x(4p - p^2 - 4) = 6p^2$

$x \cdot (-(p^2 - 4p + 4)) = 6p^2$

$-x(p-2)^2 = 6p^2$


$\boxed{p \neq 2, \pm 3: \quad x = \frac{-6p^2}{(p-2)^2}}$

$\boxed{p = 2: \quad 0 = 24 \implies \text{žádné řešení}}$

$\textbf{h/} \quad \frac{p-x}{p-2}-\frac{x-2}{p+2}=\frac{4p}{p^2-4}$

Podmínky existence: $p \neq \pm 2$. Násobíme obě strany výrazem $(p^2-4) = (p-2)(p+2)$:

$(p-x)(p+2) - (x-2)(p-2) = 4p$


Rozepíšeme závorky:

$p^2 + 2p - xp - 2x - (xp - 2x - 2p + 4) = 4p$

$p^2 + 2p - xp - 2x - xp + 2x + 2p - 4 = 4p$

$p^2 + 4p - 4 - 2xp = 4p$

$p^2 - 4 = 2xp$


$\boxed{p \neq 0, \pm 2: \quad x = \frac{p^2-4}{2p} = \frac{(p-2)(p+2)}{2p}}$

$\boxed{p = 0, \pm 2: \quad \text{rovnice není definována}}$


$\textbf{i/} \quad px - \frac{2}{p^2} = \frac{1}{p}(4x+1)$

Podmínka existence: $p \neq 0$. Násobíme obě strany výrazem $p^2$:

$p^3 x - 2 = p(4x + 1)$

$p^3 x - 2 = 4px + p$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$p^3 x - 4px = p + 2$

$xp(p^2 - 4) = p + 2$

$xp(p-2)(p+2) = p+2$


$\boxed{p \neq 0, \pm 2: \quad x = \frac{p+2}{p(p-2)(p+2)} = \frac{1}{p(p-2)}}$

$\boxed{p = -2: \quad 0 = 0 \implies x \in \mathbb{R}}$

$\boxed{p = 2: \quad 0 = 4 \implies \text{žádné řešení}}$


$\textbf{j/} \quad \frac{4x}{p}+\frac{2}{p^2}=px-\frac{1}{p}$

Podmínka existence: $p \neq 0$. Násobíme obě strany výrazem $p^2$:

$4px + 2 = p^3 x - p$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$4px - p^3 x = -p - 2$

$xp(4 - p^2) = -(p+2)$

$-xp(p^2-4) = -(p+2)$

$xp(p-2)(p+2) = p+2$


$\boxed{p \neq 0, \pm 2: \quad x = \frac{p+2}{p(p-2)(p+2)} = \frac{1}{p(p-2)}}$

$\boxed{p = -2: \quad 0 = 0 \implies x \in \mathbb{R}}$

$\boxed{p = 2: \quad 0 = 4 \implies \text{žádné řešení}}$


$\textbf{k/} \quad \frac{px+1}{x-2}=\frac{px-1}{x+2}$

Podmínky existence: $x \neq \pm 2$. Křížově násobíme:

$(px+1)(x+2) = (px-1)(x-2)$


Rozepíšeme obě strany:

$px^2 + 2px + x + 2 = px^2 - 2px - x + 2$


Zjednodušíme (odečteme $px^2$ a $2$ z obou stran):

$2px + x = -2px - x$

$4px + 2x = 0$

$2x(2p+1) = 0$


$\boxed{p \neq -\tfrac{1}{2}: \quad x = 0}$

$\boxed{p = -\tfrac{1}{2}: \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{-2,\, 2\}}$


$\textbf{l/} \quad \frac{2-p}{p}=\frac{2}{x-1}$

Podmínky existence: $p \neq 0$, $x \neq 1$. Křížově násobíme:

$(2-p)(x-1) = 2p$


Rozepíšeme závorku:

$2x - 2 - px + p = 2p$


Přesuneme členy s $x$ na levou stranu:

$2x - px = 2p - p + 2$

$x(2-p) = p + 2$


$\boxed{p \neq 0, 2: \quad x = \frac{p+2}{2-p}}$

$\boxed{p = 2: \quad 0 = 4 \implies \text{žádné řešení}}$

$\boxed{p = 0: \quad \text{rovnice není definována}}$