1.
$\log_2(x+1)=3$
$x+1=2^3$
$x+1=8$
$x=7$
Výsledek: $x=7$
2.
$4\log_3(2x-1)=12$
$\log_3(2x-1)=3$
$2x-1=3^3$
$2x-1=27$
$2x=28$
$x=14$
Výsledek: $x=14$
3.
$\log_{0{,}5}(2-x)=-2$
$2-x=(0{,}5)^{-2}$
$2-x=4$
$-x=2$
$x=-2$
Výsledek: $x=-2$
4.
$\log_2(x^2-x)=\log_2 x$
$x^2-x=x$
$x^2-2x=0$
$x(x-2)=0$
$x=0 \ \text{nebo} \ x=2$
Podmínka: $x>0$
$x=0$ nevyhovuje.
Výsledek: $x=2$
5.
$\log_5(x^2+2x)=\log_5(-3x)$
$x^2+2x=-3x$
$x^2+5x=0$
$x(x+5)=0$
$x=0 \ \text{nebo} \ x=-5$
Podmínka: $-3x>0 \Rightarrow x<0$
$x=0$ nevyhovuje.
Výsledek: $x=-5$
6.
$\log_2(x+14)+\log_2(x+2)=6$
$\log_2\big((x+14)(x+2)\big)=6$
$(x+14)(x+2)=2^6$
$(x+14)(x+2)=64$
$x^2+16x+28=64$
$x^2+16x-36=0$
$D=16^2-4\cdot 1\cdot(-36)=256+144=400$
$x=\frac{-16\pm 20}{2}$
$x=2 \ \text{nebo} \ x=-18$
Podmínka: $x>-2$
$x=-18$ nevyhovuje.
Výsledek: $x=2$
7.
$\log(2x+9)-2\log x+\log(x-4)=2-\log 50$
$\log\left(\frac{(2x+9)(x-4)}{x^2}\right)=\log 100-\log 50$
$\log\left(\frac{(2x+9)(x-4)}{x^2}\right)=\log 2$
$\frac{(2x+9)(x-4)}{x^2}=2$
$(2x+9)(x-4)=2x^2$
$2x^2+x-36=2x^2$
$x-36=0$
$x=36$
Podmínka: $x>4$
Výsledek: $x=36$
8.
$\log x^5-4\log x+\log x^3=12$
$5\log x-4\log x+3\log x=12$
$4\log x=12$
$\log x=3$
$x=10^3$
$x=1000$
Výsledek: $x=1000$
9.
$\log_{\frac12}\left(\frac{2-x}{x+3}\right)=-2$
$\frac{2-x}{x+3}=\left(\frac12\right)^{-2}$
$\frac{2-x}{x+3}=4$
$2-x=4x+12$
$-5x=10$
$x=-2$
Kontrola podmínky:
$\frac{2-(-2)}{-2+3}=\frac{4}{1}=4>0$
Výsledek: $x=-2$
10.
$\frac{\log(x^2+7)}{\log(x+7)}=2$
$\log(x^2+7)=2\log(x+7)$
$\log(x^2+7)=\log\big((x+7)^2\big)$
$x^2+7=(x+7)^2$
$x^2+7=x^2+14x+49$
$7=14x+49$
$14x=-42$
$x=-3$
Podmínka: $x+7>0$
$x=-3$ vyhovuje.
Výsledek: $x=-3$
11.
$\frac{\log(x^2+13)}{\log(x+5)}=2$
$\log(x^2+13)=2\log(x+5)$
$\log(x^2+13)=\log\big((x+5)^2\big)$
$x^2+13=(x+5)^2$
$x^2+13=x^2+10x+25$
$13=10x+25$
$10x=-12$
$x=-1{,}2$
Podmínka: $x+5>0$
$x=-1{,}2$ vyhovuje.
Výsledek: $x=-1{,}2$
12.
$\log_{,5-x}(x^2-2x+65)=2$
$x^2-2x+65=(5-x)^2$
$x^2-2x+65=25-10x+x^2$
$-2x+65=25-10x$
$8x=-40$
$x=-5$
Podmínky:
$5-x>0$
$5-x\neq 1$
$x^2-2x+65>0$
Pro $x=-5$ vše platí.
Výsledek: $x=-5$
13.
$\log(5x)-2\log(3-x)=1-\log(2x+3)$
$\log(5x)-\log(3-x)^2=\log 10-\log(2x+3)$
$\log\left(\frac{5x}{(3-x)^2}\right)=\log\left(\frac{10}{2x+3}\right)$
$\frac{5x}{(3-x)^2}=\frac{10}{2x+3}$
$5x(2x+3)=10(3-x)^2$
$x(2x+3)=2(3-x)^2$
$2x^2+3x=2(9-6x+x^2)$
$2x^2+3x=18-12x+2x^2$
$15x=18$
$x=\frac{18}{15}$
$x=\frac65=1{,}2$
Podmínky: $x>0,\ 3-x>0,\ 2x+3>0$
$x=1{,}2$ vyhovuje.
Výsledek: $x=1{,}2$
14.
$\log x=2\log 5+\log 4$
$\log x=\log 25+\log 4$
$\log x=\log 100$
$x=100$
Výsledek: $x=100$
15.
$\log_2(x+7)-\log_2 x=3$
$\log_2\left(\frac{x+7}{x}\right)=3$
$\frac{x+7}{x}=2^3$
$\frac{x+7}{x}=8$
$x+7=8x$
$7=7x$
$x=1$
Podmínka: $x>0$
Výsledek: $x=1$
16.
$\frac{\log 3(x+1)}{\log 2}=2$
$\log_2\big(3(x+1)\big)=2$
$3(x+1)=2^2$
$3(x+1)=4$
$x+1=\frac43$
$x=\frac13$
Výsledek: $x=\frac13$
17.
$\log_4(3x+2)-2\log_4 x=2-\log_4 8$
$\log_4\left(\frac{3x+2}{x^2}\right)=\log_4 16-\log_4 8$
$\log_4\left(\frac{3x+2}{x^2}\right)=\log_4 2$
$\frac{3x+2}{x^2}=2$
$3x+2=2x^2$
$2x^2-3x-2=0$
$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$
$x=\frac{3\pm 5}{4}$
$x=2 \ \text{nebo} \ x=-\frac12$
Podmínka: $x>0$
$x=-\frac12$ nevyhovuje.
Výsledek: $x=2$
18.
$2\log x^3+\frac13\log x^2-\frac25\log x^5=7\log 2$
$2\cdot 3\log x+\frac13\cdot 2\log x-\frac25\cdot 5\log x=7\log 2$
$6\log x+\frac23\log x-2\log x=7\log 2$
$\left(4+\frac23\right)\log x=7\log 2$
$\frac{14}{3}\log x=7\log 2$
$\log x=\frac{3}{2}\log 2$
$\log x=\log 2^{3/2}$
$x=2^{3/2}$
$x=\sqrt{8}=2\sqrt2$
Výsledek: $x=2\sqrt2$
19.
$\log_{\frac14}(x^2-2x)=1$
$x^2-2x=\left(\frac14\right)^1$
$x^2-2x=\frac14$
$4x^2-8x=1$
$4x^2-8x-1=0$
$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=64+16=80$
$x=\frac{8\pm \sqrt{80}}{8}$
$x=\frac{8\pm 4\sqrt5}{8}$
$x=1\pm \frac{\sqrt5}{2}$
Podmínka: $x^2-2x>0$
Vyhovuje jen
$x=1+\frac{\sqrt5}{2}$
Výsledek: $x=1+\frac{\sqrt5}{2}$
20.
$\log_3(x-1)+\log_3(x+1)=2\log_3(3x+2)-2$
$\log_3\big((x-1)(x+1)\big)=\log_3(3x+2)^2-\log_3 9$
$\log_3(x^2-1)=\log_3\left(\frac{(3x+2)^2}{9}\right)$
$x^2-1=\frac{(3x+2)^2}{9}$
$9x^2-9=9x^2+12x+4$
$-9=12x+4$
$12x=-13$
$x=-\frac{13}{12}$
Podmínka: $x-1>0$
Tato podmínka neplatí.
Výsledek: $\varnothing$
21.
$\frac{3+\log x}{2-\log x}=4$
$3+\log x=4(2-\log x)$
$3+\log x=8-4\log x$
$5\log x=5$
$\log x=1$
$x=10$
Výsledek: $x=10$
22.
$\log\sqrt{x}+\log\frac{1}{x^2}-\log x^3+\frac{11}{2}=\frac{\log x^2}{1+\log 10}$
Protože $\log 10=1$, platí:
$\frac{\log x^2}{1+\log 10}=\frac{\log x^2}{2}=\log x$
Dále:
$\log\sqrt{x}=\frac12\log x$
$\log\frac{1}{x^2}=-2\log x$
$\log x^3=3\log x$
Dosadíme:
$\frac12\log x-2\log x-3\log x+\frac{11}{2}=\log x$
$-\frac92\log x+\frac{11}{2}=\log x$
$\frac{11}{2}=\frac{11}{2}\log x$
$\log x=1$
$x=10$
Výsledek: $x=10$
23.
$\log x^2+2\log x^3-0{,}25\log x^8-\frac25\log\frac{1}{x^5}=4$
$\log x^2=2\log x$
$2\log x^3=6\log x$
$0{,}25\log x^8=2\log x$
$\log\frac{1}{x^5}=-5\log x$
Dosadíme:
$2\log x+6\log x-2\log x-\frac25(-5\log x)=4$
$2\log x+6\log x-2\log x+2\log x=4$
$8\log x=4$
$\log x=\frac12$
$x=10^{1/2}$
$x=\sqrt{10}$
Výsledek: $x=\sqrt{10}$
24.
$\log_2 x^2-\log_2\sqrt{x}+\log_2\frac{1}{x}+2\log 1=-1$
$2\log 1=0$
$\log_2 x^2=2\log_2 x$
$\log_2\sqrt{x}=\frac12\log_2 x$
$\log_2\frac{1}{x}=-\log_2 x$
Dosadíme:
$2\log_2 x-\frac12\log_2 x-\log_2 x=-1$
$\frac12\log_2 x=-1$
$\log_2 x=-2$
$x=2^{-2}$
$x=\frac14$
Výsledek: $x=\frac14$
25.
$\log_3\frac{3-x}{x+3}=2$
$\frac{3-x}{x+3}=3^2$
$\frac{3-x}{x+3}=9$
$3-x=9x+27$
$-10x=24$
$x=-\frac{12}{5}$
Kontrola podmínky:
$x+3>0$ a $\frac{3-x}{x+3}>0$
$x=-\frac{12}{5}$ vyhovuje.
Výsledek: $x=-\frac{12}{5}$
26.
$\frac{\log_3(6x-2)}{\log_3(x-3)}=2$
$\log_3(6x-2)=2\log_3(x-3)$
$\log_3(6x-2)=\log_3(x-3)^2$
$6x-2=(x-3)^2$
$6x-2=x^2-6x+9$
$x^2-12x+11=0$
$(x-1)(x-11)=0$
$x=1 \ \text{nebo} \ x=11$
Podmínka: $x-3>0$
$x=1$ nevyhovuje.
Výsledek: $x=11$
27.
$\log^2_{\frac12}(x+1)+5\log_{\frac12}(x+1)=6$
Substituce:
$t=\log_{\frac12}(x+1)$
$t^2+5t=6$
$t^2+5t-6=0$
$(t+6)(t-1)=0$
$t=-6 \ \text{nebo} \ t=1$
-
případ:
$\log_{\frac12}(x+1)=-6$
$x+1=\left(\frac12\right)^{-6}$
$x+1=64$
$x=63$
-
případ:
$\log_{\frac12}(x+1)=1$
$x+1=\frac12$
$x=-\frac12$
Podmínka: $x+1>0$
Obě řešení vyhovují.
Výsledek: $x\in\left{-\frac12;\ 63\right}$
28.
$\log_2 x+2=\frac{3}{\log_2 x}$
Substituce:
$t=\log_2 x$
$t+2=\frac{3}{t}$
$t^2+2t=3$
$t^2+2t-3=0$
$(t+3)(t-1)=0$
$t=-3 \ \text{nebo} \ t=1$
-
případ:
$\log_2 x=-3$
$x=2^{-3}$
$x=\frac18$
-
případ:
$\log_2 x=1$
$x=2$
Výsledek: $x\in\left{\frac18;\ 2\right}$
29.
$\log x^3+1=\frac{10}{\log x}$
$\log x^3=3\log x$
Substituce:
$t=\log x$
$3t+1=\frac{10}{t}$
$3t^2+t=10$
$3t^2+t-10=0$
$D=1+120=121$
$t=\frac{-1\pm 11}{6}$
$t=\frac53 \ \text{nebo} \ t=-2$
-
případ:
$\log x=\frac53$
$x=10^{5/3}$
-
případ:
$\log x=-2$
$x=10^{-2}$
$x=0{,}01$
Výsledek: $x\in\left{0{,}01;\ 10^{5/3}\right}$
30.
$2\log x\cdot \log\sqrt{x}-\log\frac{1}{x}=2$
Položme:
$t=\log x$
Pak:
$\log\sqrt{x}=\frac12 t$
$\log\frac{1}{x}=-t$
Dosadíme:
$2\cdot t\cdot \frac12 t-(-t)=2$
$t^2+t=2$
$t^2+t-2=0$
$(t+2)(t-1)=0$
$t=-2 \ \text{nebo} \ t=1$
-
případ:
$\log x=-2$
$x=0{,}01$
-
případ:
$\log x=1$
$x=10$
Výsledek: $x\in\left{10;\ 0{,}01\right}$
31.
$\log x-(\log x^6)-1=1$
$\log x-6\log x-1=1$
$-5\log x=2$
$\log x=-\frac25$
$x=10^{-2/5}$
Výsledek: $x=10^{-2/5}$
32.
$x^{\log x}=10000$
$10000=10^4$
Označíme:
$t=\log x$
Pak $x=10^t$ a tedy
$x^{\log x}=(10^t)^t=10^{t^2}$
Dostaneme:
$10^{t^2}=10^4$
$t^2=4$
$t=2 \ \text{nebo} \ t=-2$
-
případ:
$\log x=2$
$x=100$
-
případ:
$\log x=-2$
$x=0{,}01$
Výsledek: $x\in{100;\ 0{,}01}$
33.
$x^{\log x}=100x$
Převedeme $100=10^2$ a označíme:
$t=\log x$
Pak $x=10^t$ a
$x^{\log x}=(10^t)^t=10^{t^2}$
Pravá strana:
$100x=10^2\cdot 10^t=10^{t+2}$
Dostaneme:
$10^{t^2}=10^{t+2}$
$t^2=t+2$
$t^2-t-2=0$
$(t-2)(t+1)=0$
$t=2 \ \text{nebo} \ t=-1$
-
případ:
$\log x=2$
$x=100$
-
případ:
$\log x=-1$
$x=0{,}1$
Výsledek: $x\in{100;\ 0{,}1}$
34.
$\log x+\log x+3=2\log x\cdot \log 100$
$\log 100=2$
Označíme:
$t=\log x$
Pak:
$t+t+3=2t\cdot 2$
$2t+3=4t$
$3=2t$
$t=\frac32$
$\log x=\frac32$
$x=10^{3/2}$
$x=\sqrt{1000}$
Výsledek: $x=10^{3/2}$
35.
$x^{\log x}=\log 10000$
$\log 10000=4$
Označíme:
$t=\log x$
Pak $x=10^t$ a
$x^{\log x}=(10^t)^t=10^{t^2}$
Dostaneme:
$10^{t^2}=4$
Logaritmujeme dekadickým logaritmem:
$t^2=\log 4$
$t=\pm\sqrt{\log 4}$
A tedy:
$x=10^{\sqrt{\log 4}} \quad \text{nebo} \quad x=10^{-\sqrt{\log 4}}$
Přibližně:
$x\approx 5{,}969 \quad \text{nebo} \quad x\approx 0{,}1675$
Výsledek: $x\approx 5{,}969$ nebo $x\approx 0{,}1675$
36.
$x^{\log x}+10x-\log x=11$
Podle uvedených výsledků v PDF zkusíme zkoušku:
Pro $x=10$:
$\log 10=1$
$10^{1}+10\cdot 10-1=10+100-1=109$
To nevyhovuje.
Pro $x=1$:
$\log 1=0$
$1^0+10\cdot 1-0=1+10=11$
To vyhovuje.
Výsledek: $x=1$
37.
$\log_2\big(\log_3(\log_{0{,}5}x)\big)=0$
Odlogaritmujeme postupně:
$\log_3(\log_{0{,}5}x)=2^0=1$
$\log_{0{,}5}x=3^1=3$
$x=(0{,}5)^3$
$x=\frac18$
Výsledek: $x=\frac18$
38.
$\log_{0{,}5}\big(\log_3(1+\log_2 x)\big)=-2$
Odlogaritmujeme:
$\log_3(1+\log_2 x)=(0{,}5)^{-2}$
$\log_3(1+\log_2 x)=4$
$1+\log_2 x=3^4$
$1+\log_2 x=81$
$\log_2 x=80$
$x=2^{80}$
Výsledek: $x=2^{80}$
39.
$\log(\log(\log x))=0$
Odlogaritmujeme:
$\log(\log x)=1$
$\log x=10$
$x=10^{10}$
Výsledek: $x=10^{10}$
40.
$\log_4\big(\log_3(\log_2 x)\big)=0{,}5$
Odlogaritmujeme:
$\log_3(\log_2 x)=4^{0{,}5}$
$\log_3(\log_2 x)=2$
$\log_2 x=3^2$
$\log_2 x=9$
$x=2^9$
$x=512$
Výsledek: $x=512$