Směsi

Postup řešení slovních úloh na směsi

  1. Přečteme 2x zadání od začátku do úplného konce.
  2. V úlohách na směsi řešíme většinou dva vstupy, ke kterým se vztahuje nějaký údaj. Jedná se například o dvažší a levnější čokoládu nebo něco obdobného, dva druhy ovoce nebo zeleniny, dva druhy pokojů s různým počtem lůžek.
  3. Údaje ze zadání pečlivě zapíšeme do tabulky.
  4. Sestavíme rovnici a řešíme.
  5. Po vyřešení provedeme zkoušku dosazením do tabulky.

  1. Na letním táboře je 41 chatek. Bydlí se v nich po třech nebo po čtyřech. Kolik ze 140 táborníků bydlí po třech?

počet chatek počet lůžek v 1 chatě počet ubytovaných
1. druh pokoje - třílůžkový x 3 3x
2. druh pokoje - čtyřlůžkový 41 - x 4 4(41 - x)
celkem 41
140






Poznámka: Celkem máme 41 chatek. Takže když zvolíme x za počet třílůžkových chatek, tak čtyřlůžkových bude 41 - x. V každé chatce je buď tři nebo čtyři lůžka. Když vynásobíme počet chatek počtem lůžek, tak získáme celkový počet lůžek v obou druzích chatek. Rovnici sestavíe tak, že sečteme celkový počet ubytovaných v třílůžkových i čtyřlůžkových chatkách, celkový počet se bude rovnat počtu ubytovaných. V našem případě vypočítáme počet třílůžkových chatek, které jsme zvolili jako x. Počet čtyřlůžkových získáme tak, že odečteme tento počet od celkového počtu chatek. Zkoušku provedeme tak, že dosadíme výsledek za x a musíme dostat celkový počet ubytovaných 140.

$3x + 4\times(41 - x) = 140$

$3x + 164 - 4x = 140$

$x = 24$

Počet třílůžkových chatek je 24 a čtyřlůžkových je 17.

2. Zahradnictví zakoupilo 80 květináčů v celkové hodnotě 2 832 Kč. Menší květináče byly po 32 Kč, větší po 40 Kč za kus. Kolik bylo kterých?


počet květináčů cena za 1 ks celková cena
1. druh květináče - menší x 32  32x
2. druh květináče - větší 80 - x 40  40(80 - x)
celkem 80
2832

$32x + 40\times(80 - x) = 2832$

$32x + 3200 - 40x = 2832$

$8x = 368$

$x = 46$

Menších květináčů bylo 46, větších 34.

3. Do obchodu přivezli 50 balení másla dvojího druhu v celkové ceně 844 Kč. Levnější druh byl po 16 Kč, dražší po 18 Kč za kus. Kolik bylo kterých?


máslo - ks cena za 1 ks celková cena
1. druh másla - levnější x 16  16x
2. druh másla - dražší 50 - x 18  18(50 - x)
celkem 50
844 






$16x + 18\times(50 - x) = 844$

$16x + 900 - 18x = 844$

$2x = 56$

$x = 28$

Levnějšího másla bylo 28 kusů, dražšího 22 kusů.

4. Závod objednal 50 kg materiálu za 720 Kč. Cena levnějšího materiálu je 12 Kč za 1 kg a dražšího 16 Kč za 1 kg. Kolik kg každého bylo objednáno?


materiál - kg cena za 1 kg celková cena
1. druh materiálu - levnější $x$ $12$ $12x$
2. druh materiálu - dražší $50 - x$ $16$ $16(50 - x)$
celkem $50$
$720$

$12x + 16\times(50 - x) = 720$

$12x + 800 - 16x = 720$

$4x = 180$

$x = 25$

Levnějšího materiálu bylo 25 kg, dražšího 25 kg.

5. Ve stánku se prodává 1 kg banánů za 24 Kč a 1 kg pomerančů za 17 Kč. Kolik kg banánů a kolik kg pomerančů prodavač prodal, jestliže prodal celkem 130 kg obou druhů ovoce a utržil 2 770Kč?


množství cena celková cena
1. druh - banány $x$ $24$ $24\times x$
2. druh - pomeranče $130 - x$ $17$ $17\times (130 - x)$
celkem $130$
$2770$

$24\times x + 17\times (130 - x)= 2770$

$24\times x + 2210 - 17\times x = 2770$

$7\times x = 560$

$x = 80$

Banánů bylo 80 kg a pomerančů 50 kg.

6. V bufetu prodali 170 nápojů v hodnotě 1 120 Kč. Pomerančový byl po 8 Kč, jablkový po 6 Kč. Kolik nápojů každého druhu prodali?


množství cena celková cena
1. druh - pomerančový nápoj $x$ $8$ $8\times x$
2. druh - jablkový nápoj $170 - x$ $6$ $6\times (170 - x)$
celkem $170$
$1120$

$8\times x + 6\times (170 - x) = 1120$

$8\times x + 1020 - 6\times x = 1120$

$2\times x = 100$

$x = 50$

Pomerančového nápoje se prodalo 50 kusů, jablkového 120 kusů

.

7.V balírnách připravují směs kávy v ceně 220 Kč za 1 kg. Na skladě mají dva druhy kávy, 1 kg prvního druhu stojí 180 Kč a 1 kg druhého druhu stojí 280 Kč. Kolik kilogramů každého druhu je potřeba k přípravě 75 kg požadované směsi?


množství cena celková cena
1. druh - levnější káva $x$ $180$ $180\times x$
2. druh - dražší káva $75 - x$ $280$ $280\times (75 - x)$
celkem $75$
$75\times 220 Kč$

$180\times x + 280\times (75 - x) = 75\times 220$

$180\times x + 21000 - 280\times x = 16500$

$100\times x = 4500$

$x = 45$

Na směs je třeba 45 kg levnější kávy a 30 kg dražší kávy.

8. 8 kabelek stálo 3 060 Kč. Kabelka z kůže stojí 620 Kč, kabelka z imitace 240 Kč. Kolik kterých kabelek bylo koupeno?


množství cena celková cena
1. druh - kůže $x$ $620$ $620\times x$
2. druh - imitace $8 - x$ $240$ $240\times (8 - x)$
celkem $8$
$3060$

$620\times x + 240\times (8 - x) = 3060$

$620\times x + 1920 - 240\times x = 3060$

$380\times x = 1140$

$x = 3$

Byly koupeny 3 kožené kabelky a pět kabelek z imitace kůže.

9. Kolik kg semene vojtěšky po 160 Kč a bojínku po 40 Kč musíme smíchat, abychom dostali 10 kg travní směsi po 100 Kč?


množství cena celková cena
1. druh - vojtěška $x$ $160$ $160\times x$
2. druh - bojínek $10 - x$ $40$ $40\times (10 - x)$
celkem $10$
$1000$

$160\times x + 40\times (10 - x) = 1000$

$160\times x + 400 - 40\times x = 1000$

$120\times x = 600$

$x = 5$

Musíme smíchat 5 kg vojtěšky a 5 kg bojínku.

10. Jitka měla v pokladničce celkem 62 mincí. Mince byly pětikorunové nebo dvoukorunové. Kolik bylo v pokladničce pětikorun a kolik dvoukorun, jestliže celkový obnos byl 226 Kč?


množství cena celková cena
1. druh - dvoukorunové $x$ $2$ $2\times x$
2. druh - pětikorunové $62 - x$ $5$ $5\times (62 - x)$
celkem $62$
$226$

$2\times x + 5\times (62 - x) = 226$

$2\times x + 310 - 5\times x = 226$

$3\times x = 84$

$x = 28$

Dvoukorun bylo 28 a pětikorun 34.

11. 50 konzerv dvojího druhu stojí 700 Kč. První druh je po 16 Kč, druhý po 11 Kč. Kolik konzerv prvního a druhého druhu jsme koupili?


množství cena celková cena
1. druh - dražší $x$ $16$ $16\times x$
2. druh - levnější $50 - x$ $11$ $11\times (50 - x)$
celkem $50$
$700$

$16\times x + 11\times (50 - x) = 700$

$16\times x + 550 - 11\times x = 700$

$5\times x = 150$

$x = 30$

Koupili jsme 30 dražších konzerv a 20 levnějších konzerv.

12. Kolik kg dvou druhů zboží musíme smíchat, abychom dostali 10 kg směsi po 35 Kč, jestliže první druh stojí 32 Kč za 1 kg a druhý 40 Kč za 1 kg.


množství cena celková cena
1. druh $x$ $40$ $40\times x$
2. druh $10 - x$ $32$ $32\times (10 - x)$
celkem $10$
$350$

$40\times x + 32\times (10 - x) = 350$

$40\times x + 320 - 32\times x = 350$

$8\times x = 30$

$x = 3,75$

Musíme smíchat 3,75 kg dražšího zboží a 6,25 kg levnějšího zboží.

13. 1 kg vepřového masa a 1 kg hovězího masa stojí dohromady 68 Kč. 1 kg vepřového masa a 3 kg hovězího masa stojí dohromady 112 Kč. Vypočítejte, kolik stojí 1 kg vepřového a 1 kg hovězího masa.


množství cena celková cena
1. druh - vepřové $1$ $x$ $x$
2. druh - hovězí $3$ $y$ $3y$
celkem $4$ 68 $112$

$x + y = 68$

$x + 3y = 112$

$x = 68 - y$

$68 - y + 3y = 112$

$2y = 44$

$y = 22$

Hovězí maso stojí 22 Kč a vepřové 46 Kč.

14. Limonáda se plní do menších láhví s objemem 0,33 litru a do větších s objemem 0,7 litru. Přitom 1 200 litrů limonády bylo stočeno do 3 300 láhví obou velikostí. Kolik menších a kolik větších láhví bylo plněno?


objem počet lahví celkový objem
1. druh $0,33$ $x$ $0,33 x$
2. druh $0,7$ $y$ $0,7 y$
celkem
3300 $1200$

$x + y = 3300$

$0,33x + 0,7y = 1200$

$x = 3300 - y$

$0,33(3300 - y) + 0,7y = 1200$

$1089 - 0,33y + 0,7y = 1200$


$0,37y = 111$

$y = 300$

Bylo naplněno 300 větších a 300 menších lahví.

15. Zahradnictví zakoupilo 80 květináčů v celkové hodnotě 2 832 Kč. Menší květináče byly po 32 Kč, větší po 40 Kč za kus. Kolik bylo kterých?


množství cena celková cena
1. druh  $x$ $32$ $32\times x$
2. druh  $80 - x$ $40$ $40\times (80 - x)$
celkem $80$
$2832$

$32x + 40(80 - x) = 2832$

$32x + 3200 - 40x = 2832$

$8x = 368$

$x = 46$

Zakoupilo 46 levnějších a 34 dražších květináčů.

16. Jeden kilogram lacinější kávy stojí 150 Kč, jeden kilogram dražší kávy je za 200 Kč. Jak připravit směs 35 kg kávy po 180 Kč?


množství cena celková cena
1. druh  $x$ $150$ $150\times x$
2. druh $35 - x$ $200$ $200\times (35 - x)$
celkem $35$
$35 \times $

$150x + 200(35 - x) = 6300$

$150x + 7000 - 200x = 6300$

$50x = 700$

$x = 14$

Levnější kávy potřebujeme 14 kg a dražší 21 kg.

17. Ze dvou druhů čaje v ceně 160 Kč a 220 Kč za 1 kilogram se má připravit 20 kg směsi v ceně 205 Kč za 1 kilogram. Kolik kilogramů každého druhu čaje bude třeba smíchat?


množství cena celková cena
1. druh $x$ $160$ $160\times x$
2. druh $20 - x$ $220$ $220\times (20 - x)$
celkem $20$
$20\times 205$

$160x + 220(20 - x) = 4100$

$160x + 4400 - 220x = 4100$

$60x = 300$

$x = 5$

Je třeba smíchat 5 kg levnějšího a 15 kg dražšího čaje.

18. Do obchodu přivezli 50 balení másla dvojího druhu v celkové ceně 844 Kč. Levnější druh byl po 16 Kč, dražší po 18 Kč za kus. Kolik bylo kterých?


množství cena celková cena
1. druh $x$ $16$ $16\times x$
2. druh $50 - x$ $18$ $18\times (50 - x)$
celkem $50$
$844$

$16x + 18(50 - x) = 844$

$16x + 900 - 18x = 844$

$2x = 56$

$x = 28$

Přivezli 28 kusů levnějšího a 22 kusů dražšího másla.

19. V internátu je ve 48 pokojích ubytováno celkem 173 žáků. Některé pokoje jsou třílůžkové, některé čtyřlůžkové. Určete, kolik je kterých, jestliže všechny pokoje jsou plně obsazeny.


počet pokojů počet lůžek celková cena
1. druh - třílůžkový pokoj $x$ $3$ $3\times x$
2. druh - čtyřlůžkový pokoj $48 - x$ $4$ $4\times (48 - x)$
celkem $48$
$173$

$3x + 4(48 - x) = 173$

$3x + 192 - 4x = 173$

$x = 19$

V internátu bylo 19 třílůžkových a 29 čtyřlůžkových pokojů.

20. Denní produkce mléka 630 litrů byla k odvozu slita do 22 konví, z nichž některé byly po 25 litrech, jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví?


počet konví objem celkový objem
1. druh $x$ $25$ $25\times x$
2. druh $22 - x$ $35$ $35\times (22 - x)$
celkem $22$
$630$

$25x + 35(22 - x) = 630$

$25x + 770 - 35x = 630$

$10x = 140$

$x = 14$

Menších konví bylo 14 a větších bylo 8.

21. Pokladník vyplatil 1390 Kč padesáti mincemi v hodnotě 20 Kč a 50 Kč. Kolik bylo dvacetikorunových a kolik padesátikorunových mincí?


množství cena celková cena
1. druh $x$ $20$ $20\times x$
2. druh $50 - x$ $50$ $50\times (50 - x)$
celkem $50$
$1390$

$20x + 50(50 - x) = 1390$

$20x + 2500 - 50x = 1390$

$30x = 1110$

$x = 37$

Pokladník vyplatil 37 dvacetikorunových mincí a 13 padesátikorun.

22. Ze dvou druhů čaje v ceně 170 Kč a 210 Kč za 1 kg se má připravit 25 kg směsi v ceně 186 Kč za 1 kg. Kolik kilogramů každého druhu čaje je třeba smíchat?


množství cena celková cena
1. druh $x$ $170$ $170\times x$
2. druh $25 - x$ $210$ $210\times (25 - x)$
celkem $25$
$25\times 186$

$170x + 210(25 - x) = 4650$

$170x + 5250 - 210x = 4650$

$40x = 600$

$x = 15$

Je třeba smíchat 15 kg levnějšího a 10 kg dražšího čaje.

23. Na stánku prodávali 60 košil dvojího druhu v celkové ceně 27 300 Kč. Levnější košile stála 420 Kč, dražší 480 Kč. Kolik bylo kterých?


množství cena celková cena
1. druh $x$ $420$ $420\times x$
2. druh $60 - x$ $480$ $480\times (60 - x)$
celkem $60$
$27300$

$420x + 480(60 - x) = 27300$

$420x + 28800 - 480x = 27300$

$60x = 1500$

$x = 25$

Levnějších košil bylo 25 a dražších bylo 35 kusů.

24. V sále svítí celkem 50 žárovek po 60W resp. 200 W. Za 2,5 hodiny byla spotřeba 19 750 W. Kolik kterých žárovek svítilo?


množství spotřeba celková spotřeba za 1 hodinu
1. druh $x$ $60$ $60\times x$
2. druh $50 - x$ $200$ $200\times (50 - x)$
celkem $50$
$19750/2,5$

$60x + 200(50 - x) = 19750/2,5$

$60x + 10000 - 200x = 7900$

$140x = 2100$

$x = 15$

Svítilo 15 slabších a 35 silnějších žárovek.

25. Na studentských kolejích je ve 140 třílůžkových a čtyřlůžkových pokojích ubytováno 496 studentů. Všechna lůžka jsou obsazena. Kolik je kterých pokojů?


počet pokojů počet lůžek celkový počet lůžek
1. druh $x$ $3$ $3\times x$
2. druh $140 - x$ $4$ $4\times (140 - x)$
celkem $140$
$496$

$3x + 4(140 - x) = 496$

$3x + 560 - 4x = 496$

$x = 64$

Na kolejích bylo 64 třílůžkových a 76 čtyřlůžkových pokojů.