Lomené výrazy

Lomený výraz je zlomek, který má ve jmenovali mnohočlen s proměnnou. Naším úkolem je lomený výraz zjednodušit. Při zjednodušování využíváme vytýkání, krácení a vzorců. Musíme také udat podmínky řešitelnosti, protože ve jmenovali zlomku nemůže být nula (nulou nemůžeme dělit).

Postup při při řešení lomených výrazů:

1. Určíme podmínky řešitelnosti;

2. snažíme se upravit čitatele a jmenovatele zlomku pomocí vytýkání nebo užitím vzorců, abychom mohli krátit;

3. jestliže získáme součinový tvar, můžeme krátit;

4. pokračujeme do okamžiku, kdy již nelze krátit. Tím jsme získali výsledek.

Určení podmínek řešitelnosti

Při řešení lomených výrazů musíme vždy určit podmínky řešitelnosti. Pokud bychom proměnnou neomezili, výraz s nulou ve jmenovali by nedával smysl. Při stanovení podmínek tedy nezáleží na čitateli zlomku. Záleží pouze na jmenovateli zlomku a musíme spočítat, jaké hodnotě se nesmí rovnat proměnná ve jmenovateli, aby jmenoval nebyl roven nule. Když by byla hodnota čitatele nula, pak by celý výraz byl roven nule a to je samozřejmě možné. Nulu dělit můžeme, ale dělit nulou není možné.

Poznámka: Určení podmínek řešitelnosti je nezbytnou dovedností. Je součástí řešení nejenom úpravy lomených výrazů, ale i řešení rovnic a funkcí. Určení podmínek řešitelnosti není náročné a je možné, že timto získáte rozhodující body pro lepší výsledek u přijímacích zkoušek nebo u maturity. Proto radím - nepodceňovat...


Určete, pro které hodnoty proměnné $x$ mají dané výrazy smysl:

$\huge\frac{4}{5x}$

$5x \neq 0$

$x \neq 0$

$\huge\frac{4}{6ab}$

$6ab \neq 0$

$a \neq 0$

$b \neq 0$

$\huge\frac{5x - 7}{5x - 6}$

$5x - 6 \neq 0$

$5x  \neq 6$

$x \neq \frac{6}{5}$

$\huge\frac{x -3}{8x \left (x+7 \right )}$

$8x \left (x+7  \right ) \neq 0$


$8x \neq 0$

$x \neq 0$


$x+7 \neq 0$

$x \neq -7$

$\huge\frac{x -8}{25x^{2} - 1}$

$25x^{2} - 1 \neq 0$

$25x^{2} - 1 \neq 0$

$ \left (5x-1  \right ) \left (5x + 1 \right) \neq 0$

$5x-1 \neq 0$

$5x \neq 1$

$x \neq \frac {1}{5}$


$5x+1 \neq 0$

$5x \neq -1$

$x \neq -\frac {1}{5}$

$\huge\frac{2x -8}{ \left (x+1 \right ) \left (3x - 4 \right)}$

$ \left (x+1  \right ) \left (3x - 4 \right) \neq 0$


$x+1 \neq 0$

$x \neq -1$


$3x-4 \neq 0$

$3x \neq 4$

$x \neq \frac {3}{4}$

$\huge\frac{x -9}{7x-21x^{2}}$

$7x-21x^{2} \neq 0$

$7x \left (1 - 7x \right) \neq 0$


$7x \neq 0$

$x \neq 0$


$1-7x \neq 0$

$-7x \neq -1 \: / \div -7$

$x \neq \frac {1}{7}$

$\huge\frac{6x  \left (5-4x  \right )}{x^{2}-10x+25}$

$x^{2}-10x+25 \neq 0$

$ \left (x-5  \right )x^{2} \neq 0$

$x-5 \neq 0$

$x \neq 5$

$\huge\frac{x-y}{3x-5y}$

$3x-5y \neq 0$

$3x \neq 5y $

$x \neq \frac {5y}{3}$

Krácení a rozšiřování lomených výrazů

Lomené výrazy můžeme krátit nebo rozšiřovat stejně jako zlomky, které neobsahují proměnnou. Čitatele i jmenovatele můžeme násobit i dělit stejným číslem nebo proměnnou. Při krácení postupujeme tak, že zjišťujeme, čím můžeme podělit čitatele i jmenovatele. Při krácení využíváme často vytýkání a vzorce.  

Při rozšiřování máme v zadání uvedeno, čím máme lomený výraz rozšířit. Při rozšiřování násobíme čitatele i jmenovatele výrazu stejným číslem nebo jiným výrazem.

Poznámka: Někdy se stává, že se studenti domnívají, že při krácení se jedná o násobení, protože slyší ve slově krácení "krát". Je to právě naopak - při krácení se čitatel i jmenoval dělí společným největším dělitelem.


Kraťte dané výrazy a uveďte, kdy mají smysl:

$\huge\frac{27x^2}{3x}$

$\huge\frac{27x^2}{3x} = 9x$

$x \neq 0 $

$\huge\frac{7m-21n}{2m-6n}$

$\huge\frac{7m-21n}{2m-6n} = \frac{7 \left(m-3n \right)}{2 \left(m-3n \right)} = \frac{7}{2}$

$2m - 6n \neq 0 $

$2 \left (m-3n \right) \neq 0 $

$m - 3n \neq 0 $

$m \neq 3n $

$\huge\frac{-24x^2y^3}{8xy . \left(-6y^2 \right)}$

$\huge\frac{-24x^2y^3}{8xy . \left(-6y^2 \right)} = \frac{-24x^2y^3}{-48xy^3} = \frac{x}{2}$

$x \neq 0 $

$y \neq 0 $

$\huge\frac{x^2-64}{x^2-8x}$

$\huge\frac{x^2-64}{x^2-8x} = \frac{ \left (x-8 \right ) \left (x+8 \right )}{x\left (x-8 \right)}= \frac{x+8}{x}$

$x \neq 0 $

$x \neq -8 $

Výrazy rozšiřte výrazem v závorce a určete podmínky, za kterých mají smysl:

$\huge\frac{1}{2p} \; \; \left(p \right)$

$\huge\frac{p}{2p^2} $

$p \neq 0 $

$\huge\frac{3}{-5p} \; \; \left(-p \right)$

$\huge\frac{-3p}{5p^2} $

$p \neq 0 $

$\huge\frac{-7p}{5p-4} \; \left(-3p \right)$

$\huge\frac{21p^2}{-15p^2+12p} $

$5p-4 \neq 0 $

$5p \neq 4 $

$p \neq \frac{4}{5} $

$\huge\frac{p + q}{p - q} \; \; \left(p+q \right)$

$\huge\frac{\left(p+q \right)^2}{p^2-q^2} $

$p \neq 0 $

$q \neq 0 $



Procvičte si:

Sčítání a odčítání lomených výrazů

Násobení lomených výrazů