Pythagorova věta

Věta byla pojmenována podle řeckého filosofa a matematika Pythagora, který ji objevil už v 6. století před naším letopočtem. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Babylonii, Číně, Egyptě). Díky této větě dokážeme ze dvou stran pravoúhlého trojúhelníku spočítat chybějící třetí stranu. 


Součet obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu čtverce nad jeho přeponou.


Přepona: nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku, naproti pravému úhlu

Odvěsny: dvě kratší strany v pravoúhlém trojúhleníku, které svírají pravý úhel

Strany trojúhelníku jsou pojmenovány podle protilehlého vrcholu trojúhelníku. Naproti vrcholu A leží strana a, proti vrcholu B leží strana b, proti vrcholu C leží strana c.


$\large c^{2}\;=\; a^{2}\;+\;b^{2}$

$\large c^{2}\;=\; 3^{2}\;+\;4^{2}$

$\large c^{2}\;=\; 9\;+\;16$

$\large c^{2}\;=\;25$

$\large c\;=\;\sqrt{25}$

$\large c\;=\;5$


Pro správný postup při výpočtu podle Pythagorovy věty se musíme nejdříve naučit rozeznat přeponu a odvěsny trojúhelníku.


Které dvě strany trojúhelníku XYZ jsou odvěsny?
Které dvě strany trojúhelníku KLM jsou odvěsny?
Která strana v trojúhelníku OPR je přepona

Zapamatujte si: 

Když počítáme přeponu, sčítáme druhou mocninu odvěsen. 

$\large c^{2}\;=\; a^{2}\;+\;b^{2}$


Když počítáme odvěsnu, od druhé mocniny přepony odčítáme druhou mocninu známé odvěsny.

$\large a^{2}\;=\; c^{2}\;-\;b^{2}$

$\large b^{2}\;=\; c^{2}\;-\;a^{2}$


Postup výpočtu podle Pythagorovy věty:

1. Pečlivě přečteme zadání.

2. Nakreslíme náčrtek a rozhodneme, zda počítáme přeponu nebo odvěsnu.

3. Napíšeme si Pythagorovu větu pro náš trojúhelník.

4. Doplníme hodnoty do vzorečku.

5. Vypočteme.


Příklady zadání

1. Rozhodněte, zda je trojúhelník pravoúhlý, když jeho strany mají délky 10, 24, 26 cm.

Trojúhleník je pravoúhlý, jestliže v něm platí Pythagorova věty. Vybereme tedy dvě kratší strany a budeme předpokládat, že jsou to odvěsny pravoúhlého trojúhelníku - 10 a 24 cm. Jestliže je trojúhelník pravoúhlý, vyjde nám délka přepony 26 cm. Pokud by trojúhelník pravoúhlý nebyl, vyšla by jiná délka.

 

$c^{2}\;=\; a^{2}\;+\;b^{2}$

$c^{2}\;=\; 10^{2}\;+\;24^{2}$

$c^{2}\;=\; 100\;+\;576$

$c^{2}\;=\;676$

$c\;=\;\sqrt{676}$

$c\;=\;26\;cm$


Trojúhelník ABC je pravoúhlý.

2. Vypočítejte uhlopříčku v obdélníku se stranou a = 8 cm, b = 15 cm.

Budeme počítat přeponu trojúhelníku.

$c^{2}\;=\; a^{2}\;+\;b^{2}$

$c^{2}\;=\; 8^{2}\;+\;15^{2}$

$c^{2}\;=\; 64\;+\;225$

$c^{2}\;=\;289$

$c\;=\;\sqrt{289}$

$c\;=\;17\;cm$

3. Vypočítejte výšku rovnostranného trojúhelníku se stranou délky 6 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.

Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejné délky. Výška takového trojúhelníku půlí základnu na dvě poloviny.

$v^{2}\;=\; 6^{2}\;-\;3^{2}$

$c^{2}\;=\; 36\;-\;9$

$c^{2}\;=\;27$

$c\;=\;\sqrt{27}$

$c\;=\;5,2\;cm$

4. Přední strana stanu typu „áčko“ měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan?


$x^{2}\;=\; 180^{2}\;-\;75^{2}$

$x^{2}\;=\; 32400\;-\;5625$

$x^{2}\;=\;26775$

$x\;=\;\sqrt{26775}$

$x\;=\;163,63\;cm$

5.Žebřík opřený o zeď je dlouhý 10 m. Jeho pata je vzdálena od stěny 2 m. V jaké výšce stěny je umístěn vrchol žebříku?


$x^{2}\;=\; 10^{2}\;-\;2^{2}$

$x^{2}\;=\; 100\;-\;4$

$x^{2}\;=\;96$

$x\;=\;\sqrt{96}$

$x\;=\;9,8\;m$

6. Čtverci o straně 5 cm je opsána a vepsána kružnice. Urči poloměry obou kružnic.


$x^{2}\;=\; a^{2}\;+\;b^{2}$

$x^{2}\;=\; 2,5^{2}\;+\;2,5^{2}$

$x^{2}\;=\; 6,25\;+\;6,25$

$x^{2}\;=\;12,5$

$x\;=\;\sqrt{12,5}$

$x\;=\;3,54\;cm$


Poloměr kružnice vepsané je 2,5 cm, poloměr kružnice opsané je 3,54 cm.

7. Pyramida se čtvercovou základnou je vysoká 50 m má výšku boční stěny 80 m. Urči šířku základny pyramidy.


$x^{2}\;=\; 80^{2}\;-\;50^{2}$

$x^{2}\;=\; 6400\;-\;2500$

$x^{2}\;=\;3900$

$x\;=\;\sqrt{3900}$

$x\;=\;62,45\;m$


Základna má šířku 2 x 62,45, tj. 124,9 m.

8. V kvádru je známa délka tělesové úhlopříčky 60 cm a výška kvádru 20 cm. Urči délku úhlopříčky podstavy kvádru.


$x^{2}\;=\; 60^{2}\;-\;20^{2}$

$x^{2}\;=\; 3600\;-\;400$

$x^{2}\;=\;3200$

$x\;=\;\sqrt{3200}$

$x\;=\;56.57\;m$

9. Urči délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně 10 cm.


$u^{2}\;=\; 10^{2}\;+\;10^{2}$

$u^{2}\;=\; 100\;+\;100$

$u^{2}\;=\;200$

$u\;=\;\sqrt{200}$

$u\;=\;14.14\;cm$


$v^{2}\;=\; 10^{2}\;+\;14,14^{2}$

$v^{2}\;=\; 100\;+\;200$

$v^{2}\;=\;300$

$v\;=\;\sqrt{300}$

$v\;=\;17,32\;cm$

10. Automobil jel z bodu A 20 km severním a potom 30 km východním směrem. Zastavil se v bodě B. Jaká je přímá vzdálenost bodů A a B?


$x^{2}\;=\; 20^{2}\;+\;30^{2}$

$x^{2}\;=\; 400\;+\;900$

$x^{2}\;=\;1300$

$x\;=\;\sqrt{1300}$

$x\;=\;36,06\;km$