Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek využíváme při hledání společného jmenovatele a při řešení slovních úloh, kde se například řeší stavba čtverce či obdélníku (krychle či kvádru) z různě velkých bloků; anebo úlohy kde, se hledá, kdy se znovu setkají vozidla, jež vyrážela ve stejný okamžik, a každému z nich objetí celé trasy zabere jinou dobu a podobně.


Příklad výpočtu nejmenšího společného násobku

1. Určete nejmenší společný násobek čísel 60 a 45.

Nejdříve provedeme rozklad obou čísel na prvočísla:

60 = 2 x 30 = 2 x 2 x15 = 2 x 2 x 3 x 5

45 = 3 x 15 = 3 x 3 x 5

Podle rozkladu bude nejmenší společný násobek obsahovat součin čísel 2, 3 a 5.

Číslo dvě se vyskytuje v rozkladu čísla 60 dvakrát - nejmenší násobek bude obsahovat 2 x 2. 

Číslo tři je v rozkladu čísla 60 jednou a v rozkladu čísla 45 dvakrát - použijeme vyšší počet a nejmenší násobek bude tedy obsahovat 3 x 3.

Číslo pět je v rozkladu obou čísel jednou - nejmenší násobek bude tedy obsahovat 5.

Celkem tedy n(45,60) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180


2. Určete nejmenší společný násobek čísel 54 a 90.

Nejdříve provedeme rozklad obou čísel na prvočísla:

54 = 2 x 27 = 2 x 3 x 9 = 2 x 3 x 3 x 3

90 = 2 x 45 = 2 x 3 x 15 = 2 x 3 x 3 x 5

Podle rozkladu bude nejmenší společný násobek obsahovat součin čísel 2, 3 a 5.

Číslo dvě se vyskytuje v obou rozkladech jednou - nejmenší násobek bude obsahovat 2. 

Číslo tři je v rozkladu čísla 54 třikrát a v rozkladu čísla 90 dvakrát - použijeme vyšší počet a nejmenší násobek bude tedy obsahovat 3 x 3 x 3.

Číslo pět je v rozkladu čísla 90 jednou - nejmenší násobek bude tedy obsahovat 5.

Celkem tedy n(45,60) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 270


Určete nejmenší společný násobek čísel:

n(42, 56)

42 = 2 * 21 = 2 * 3 * 7

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7

n(42, 56) =  2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 168

n(84,126)

84 = 2 * 42 = 2* 2 * 21 = 2 * 2 * 3 * 7

126 = 2 * 63 = 2 * 3 * 21 = 2 * 3 * 3 * 7

n(84,126) = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 252

n(30, 45)

30 = 2 * 15 = 2 * 3 * 5

45 = 3 * 15 = 3 * 3 * 5

n(30, 45) = 2 * 3 * 3 * 5 = 90

n(40, 48, 80)

40 = 2 * 2 * 2 * 5

48 = 2 * 24 = 2 * 2 * 12 = 2 * 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3

80 = 2 * 40 = 2 * 2 * 20 = 2 * 2 * 2 * 10 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5

n(40, 48, 80) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 240