Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, která obsahuje jednu neznámou umocněnou na druhou. Ekvivalentními úpravami můžeme kvadratickou rovnici upravit na základní tvar:

$\large ax^{2} + bx + c = 0$

a, b, c jsou reálná čísla a a je různé od nuly.

Členy kvadratické rovnice pojmenováváme:

$\large ax^{2}$ - kvadratický člen

$\large bx$ - lineární člen

$\large c$ - absolutní člen

Obecnou kvadratickou rovnici řešíme pomocí diskriminantu.

Když je diskriminant kladný má kvadratická rovnice dvě řešení, když je disriminant roven nule, má kvadratická rovnice jedno řešení.

Když vyjde diskriminant záporný, kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení.

Vzorec pro výpočet diskriminantu:

$\large D = b^{2}-4ac$

Vzorec pro výpočet kvadratické rovnice:

$\large x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$


Postup řešení kvadratické rovnice

$\large x^{2} + 2x - 15 = 0$

Nejdříve si z rovnice vypíšeme koeficienty a, b, c.

$\large a = 1$

$\large b = 2$

$\large c = -15$

Vypočítáme diskriminant dosazením koeficientů do vzorce.

$\large D = b^{2}-4ac$

$\large D = 2^{2}-4 \times 1 \times (-15)$

$\large D = 4-4 \times (-15)$

$\large D = 4 + 60$

$\large D = 64$

Diskriminant vyšel kladný, rovnice má tedy dvě řešení.

Opět dosadíme do vzorce.

$\large x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\large x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{64}}{2 \times 1}$

$\large x_{1,2}= \frac{-2\pm 8}{2}$

$\large x_{1}= \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\large x_{2}= \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Výsledek můžeme ověřit zkouškou.

$\large 3^{2} + 2 \times 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$

$\large (-5)^{2} + 2 \times (-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$

Zapíšeme výsledek.

$\large x_{1} = 3$

$\large x_{2} = -5$


$\large 2x^{2} - 5x + 2 = 0$

$a = 2$

$b = -5$

$c = 2$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (-5)^{2}-4 \times 2 \times (2)$

$D = 25-8 \times 2$

$D = 25 - 16$

$D = 9$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2 \times 2}$

$x_{1,2}= \frac{5\pm 3}{4}$

$x_{1}= \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_{2}= \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\large 4x^{2} - 7x - 2 = 0$

$a = 4$

$b = -7$

$c = -2$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (-7)^{2}-4 \times 4 \times (-2)$

$D = 49-16 \times (-2)$

$D = 49 + 32$

$D = 81$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-(-7)\pm \sqrt{81}}{2 \times 4}$

$x_{1,2}= \frac{7\pm 9}{8}$

$x_{1}= \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_{2}= \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\large 1,5x^{2} + 3,5x + 1 = 0$

$a = 1,5$

$b = 3,5$

$c = 1$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (3,5)^{2}-4 \times 1,5 \times 1$

$D = 12,25 - 4 \times 1,5$

$D = 12,25 - 6$

$D = 6,25$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-3,5\pm \sqrt{6,25}}{2 \times 1,5}$

$x_{1,2}= \frac{-3,5\pm 2,5}{3}$

$x_{1}= \frac{-3,5 + 2,5}{3} = -\frac{1}{3}$

$x_{2}= \frac{-3,5 - 2,5}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

$\large 25x^{2} - 20x + 4 = 0$

$a = 25$

$b = -20$

$c = 4$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (-20)^{2}-4 \times 25 \times 4$

$D = 400 - 4 \times 100$

$D = 400 - 400$

$D = 0$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-(-20)\pm \sqrt{0}}{2 \times 25}$

$x= \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$


$\large 11 + 3x - (1 - x)(x + 5) = 0$

$11 + 3x - (x + 5 - x^{2} - 5x) = 0$

$11 + 3x - x - 5 + x^{2} + 5x = 0$

$x^{2} + 7x + 6 = 0$

$a = 1$

$b = 7$

$c = 6$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (7)^{2}-4 \times 1 \times 6$

$D = 49 - 4 \times 6$

$D = 49 - 24$

$D = 25$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{-7\pm \sqrt{25}}{2 \times 1}$

$x_{1,2}= \frac{-7\pm 5}{2}$

$x_{1}= \frac{-7 + 5}{2} = -\frac{2}{2} = -1$

$x_{2}= \frac{-7 - 5}{2} = -\frac{12}{2} = -6$

$\large \frac{(x+1)^{2}}{12} - \frac{7 - x}{4}= 0,5x$

$\frac{(x+1)^{2}}{12} - \frac{7 - x}{4}= 0,5x \:/\times 12$

$(x+1)^{2} -3(7 - x)= 6x$

$x^{2} + 2x + 1 - 21 + 3x = 6x$

$x^{2} - x - 20 = 0$

$a = 1$

$b = -1$

$c = -20$

$D = b^{2}-4ac$

$D = (-1)^{2}-4 \times 1 \times (-20)$

$D = 1 - 4 \times (-20)$

$D = 1 + 80$

$D = 81$

$x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt{81}}{2 \times 1}$

$x_{1,2}= \frac{1\pm 9}{2}$

$x_{1}= \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_{2}= \frac{1 - 9}{2} = -\frac{8}{2} = -4$