Doplnění na čtverec

Doplnění na čtverec je užitečná technika úpravy kvadratických výrazů, kterou využíváme při řešení kvadratických rovnic, při integrování, v analytické geometrii při práci s kuželosečkami a v mnoha dalších případech.

Doplnění na čtverec je v podstatě úprava zadané kvadratické rovnice podle vzorce: $\large (a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab+b^{2}$.

V zadání máme většinou  $\large a^{2} \pm 2ab+c$, proto musíme najít $\large b$.

V rovnici musíme $\large b$ přičíst a odečíst tak, abychom měli $\large a^{2} \pm 2ab+b^{2}−b^{2}+c=(a \pm b)^{2}+(−b^{2}+c)$.


Při výpočtu vycházíme z obecného tvaru kvadratické funkce $y=a^{2} \pm 2ab+c$ a musíme rozlišit případy, kdy se $a = 1$ a kdy je $a\neq 1$.


$\large y=x^{2} - 6x +5$ 

$\large y=(x^{2} - 6x + \square) - \square +5$ 

$kvadratický\; člen:\; a^{2} = x^{2}$

$lineární \; člen:\; 2ab = 6x$

$absolutní \; člen (zjišťujeme): \; a=1x \wedge 2ab = 6x \Rightarrow {\color{Red}b=3}$

$\large y=(x^{2} - 6x {\color{Red}+3^{2})-3^{2}} + 5$

$\large y=(x^{2} - 6x + 9)-9+5$

$\large y=(x-3)^{2} - 4$


$\large y=-3x^{2} - 6x +1$ 

$\large y=-3(x^{2} + 2x + \square) - (-3( \square)) +1$ 

$kvadratický\; člen:\; a^{2} = x^{2}$

$lineární \; člen:\; 2ab = 2x$

$absolutní \; člen (zjišťujeme):  \;a=1x \wedge 2ab = 2x \Rightarrow b = 1$

$\large y=-3(x^{2} + 2x + 1^{2}) - (-3( 1^{2})) +1$

$\large y=-3(x^{2} + 2x + 1) + 3 +1$

$\large y=-3(x+1)^{2} + 4$


Řešené příklady - doplnění na čtverec


$\large y=x^{2} +8x +10$ 

$\large y=(x^{2} +8x + \square) - \square +10$ 

$\large y=(x^{2} +8x +4^{2})-4^{2} + 10$

$\large y=(x^{2} +8x + 16)-16+10$

$\large y=(x+4)^{2} - 6$

$\large y=x^{2} -2x +5$ 

$\large y=(x^{2} -2x + \square) - \square +5$ 

$\large y=(x^{2} -2x + 1^{2})-1^{2} +5$

$\large y=(x^{2} -2x + 1)-1+5$

$\large y=(x-1)^{2} +4$

$\large y=x^{2} +12x +24$ 

$\large y=(x^{2} +12x + \square) - \square +24$ 

$\large y=(x^{2} +12x +6^{2})-6^{2} + 24$

$\large y=(x^{2} +8x + 36)-36+24$

$\large y=(x+6)^{2} - 12$

skolaposkole1