Matematika SŠ


Úpravy výrazů

Rovnice, nerovnice

Funkce

Stereometrie

Analytická geometrie

Algebraické výrazy a jejich úpravy

Lineární rovnice a nerovnice


Rotační tělesa

Souřadnice v prostoru

Mocniny s racionálním exponentem

Rovnice s neznámou ve jmenovateli 1





Rovnice s neznámou ve jmenovateli 2





Soustava lineárních rovnic s více neznámými





Kvadratické rovnice





Kvadratické nerovnice





Exponenciální rovnice





Doplnění na čtverec












Přehled učiva matematiky SŠ

(Přehled je pouze orientační, rozsah učiva a rozložení učiva se na jednotlivých SŠ liší podle jejich zaměření.)

1. ročník

1. Základní poznatky z matematiky, číselné obory

Základní množinové pojmy a vztahy, operace s množinami. Výrok a jeho pravdivostní hodnota, výroky o počtu prvků, obecný a existenční kvantifikátor, operace s výroky - negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence. 

Axiom, definice, věta, obrácená věta. Přímý důkaz, důkaz sporem.

Obor čísel přirozených, celých, racionálních a reálných. Iracionální čísla. Vlastnosti rovnosti a nerovnosti. Operace v číselných oborech.

Zobrazení, prosté zobrazení. Číselná osa. Absolutní hodnota, intervaly, operace s intervaly. Druhá a třetí odmocnina, jednoduché operace s odmocninami. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem. Operace s mocninami.
Práce s kalkulátorem. Odhady a zaokrouhlování výsledků.
Násobek a dělitel. Znaky dělitelnosti. Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek.
Prvočísla a čísla složená. Základní věta aritmetiky.

2. Algebra

Proměnná, výraz. Mnohočleny a operace s nimi. Lomený výraz a výraz s odmocninou, definiční obor výrazu. Rozklad mnohočlenu na součin vytýkáním a užitím vzorců. vyjádření neznámé ze vzorce.
Řešení lineárních rovnic. Řešení lineárních nerovnic s jednou neznámou a jejich soustav.
Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. Řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. Soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými. Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic.
Řešení kvadratické rovnice. Ryze kvadratická rovnice, kvadratická rovnice bez absolutního členu. Diskriminant. Rozklad kvadratického trojčlenu. Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Řešení rovnic s neznámou pod odmocninou. Jednoduché lineární a kvadratické rovnice s jedním parametrem. Kvadratické nerovnice, geometrická interpretace. Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. Slovní úlohy. Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic, zkouška řešení, ověření řešení nerovnice.

3. Planimetrie

Přímka, polopřímka, úsečka. Vzájemná poloha přímek. Polorovina. Úhel. Dvojice úhlů. Odchylka dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost rovnoběžek.
Trojúhelník, věty o shodnosti trojúhelníků, významné prvky a vztahy v trojúhelníku. Rovnoběžník. Lichoběžník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník. Konvexní útvary.
Kružnice, kruh, jejich části. Středový a obvodový úhel. Vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic.
Obvody a obsahy rovinných obrazců.
Podobnost trojúhelníků. Euklidovy věty, Pythagorova věta a věta obrácená. Poměry délek stran v pravoúhlých trojúhelnících s vnitřními úhly velikosti 30° nebo 45°. Konstrukční a výpočetní úlohy.
Množiny všech bodů dané vlastnosti, užití.
Shodná zobrazení - osová a středová souměrnost, posunutí, otočení. Stejnolehlost. Konstrukční úlohy.

2. ročník

4. Funkce

Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce. Konstantní funkce, lineární funkce, přímá úměrnost. Funkce s absolutními hodnotami. Kvadratická funkce a její užití při řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Rovnost funkcí. Funkce monotónní, funkce prostá, funkce omezená, funkce sudá a lichá, maximum a minimum funkce. Periodická funkce. Složená funkce.
Lineární lomená funkce, nepřímá úměrnost. Mocninné funkce s přirozeným a celým mocnitelem. Inverzní funkce. Funkce druhá a třetí odmocnina.
Definice n-té odmocniny. Operace s odmocninami. Mocniny s racionálním a reálným exponentem. Úpravy algebraických výrazů s mocninami a odmocninami.
Exponenciální a logaritmická funkce. Logaritmus, věty o logaritmech. Logaritmy o různých základech, přirozený logaritmus. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice.

5. Goniometrie a trigonometrie

Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové. Orientovaný úhel. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Graf složené funkce typu y = a.sin(bx + c) + d. Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument. Úpravy goniometrických výrazů. Jednoduché goniometrické rovnice a nerovnice.
Sinová a kosinová věta. Řešení obecného trojúhelníku, aplikace.

3. ročník

6. Stereometrie

Základní pojmy - bod, přímky, rovina. Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin v prostoru. Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin. Rovnoběžnost přímek a rovin. Volné rovnoběžné promítání. Rovinné řezy hranolu a jehlanu. Průnik přímky s tělesem.
Metrické vztahy v prostoru. Kolmost přímek a rovin. Vzdálenosti a odchylky. Objemy a povrchy těles - hranol, válec, jehlan kužel, komolý jehlan a komolý kužel, koule a její části.
Aplikační úlohy.

7. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Základní kombinatorická pravidla. Variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace bez opakování. Faktoriál. Kombinační čísla a jejich vlastnosti. Pascalův trojúhelník. Binomická věta.
Náhodné pokusy, množina všech možných výsledků. Náhodný jev a jeho pravděpodobnost. Pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů. Nezávislé jevy.
Statistický soubor, jednotka, znak. Absolutní a relativní četnost. Rozdělení četností, grafické znázornění. Charakteristiky polohy a variability. Aritmetický, geometrický, harmonický a vážený průměr, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka. Použití a interpretace statistiky. Vztah relativní četnosti a prav.

8. Posloupnosti

Posloupnost, její určení, vzorec pro n-tý člen, rekurentní vztah, součet prvních n členů posloupnosti. Graf posloupnosti. Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost, aplikace.
Matematická indukce.
Limita posloupnosti. Věty o limitách. Užití limit posloupnosti. Nevlastní limita, Konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná geometrická řada.

9. Analytická geometrie v rovině a prostoru

a) Analytická geometrie v rovině
Soustava souřadnic v rovině. Vzdálenost bodů, střed úsečky. Orientovaná úsečka a vektor, souřadnice vektoru, velikost vektoru. Sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Skalární součin vektorů. Parametrické vyjádření přímky. Obecná rovnice přímky. Směrnicový tvar rovnice přímky. Vzájemné poloha přímek, odchylka přímek, vzdálenost bodu od přímky.
Analytické vyjádření kružnice, vzájemná poloha přímky a kružnice, tečna. Elipsa, parabola, hyperbola, jejich základní vlastnosti, konstrukce. Vrcholová rovnice paraboly, osová rovnice elipsy a hyperboly. Určení kuželosečky z jejího analytického vyjádření. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky, tečny.

b) Analytická geometrie v prostoru
Soustava souřadnic v prostoru, souřadnice bodu a vektoru, vzdálenost bodů, velikost vektoru. Operace s vektory v prostoru, lineární kombinace vektorů, vektorový součin.
Parametrické vyjádření přímky a roviny v prostoru. Obecná rovnice roviny. Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin. Vzdálenosti a odchylky.
kulová plocha.

4. ročník

10. Komplexní čísla

Obor komplexních čísel, Gaussova rovina. Algebraický tvar komplexního čísla, operace s komplexními čísly. Absolutní hodnota a argument. Goniometrický tvar komplexního čísla. Moivreova věta a její užití. Řešení kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel s reálnými a komplexními koeficienty. Binomické rovnice.

11. Základy diferenciálního a integrálního počtu

Elementární funkce, vlastnosti, grafy. Okolí bodu. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v nevlastním bodě. Věty o limitách. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam. Derivace elementárních funkcí. Derivace součtu, součinu a podílu funkcí. Derivace složené funkce. Druhá derivace. Průběh funkcí. Užití diferenciálního počtu.
Primitivní funkce. Primitivní funkce k základním funkcím. Určitý integrál.Integrační metody ( metoda substituce a per partes ). Výpočet obsahu obrazce. Objem rotačního tělesa. Fyzikální aplikace určitého integrálu.

skolaposkole1